函數的最大值和最小值

　　函數的最大值和最小值

　　例1.設x是正實數，求函數的最小值。

　　解：先估計y的下界。

　　又當x=1時，y=5，所以y的最小值為5。

　　說明 本題是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“舉例”說明這個下界是可以限到的。“舉例”是必不可少的，否則就不一定對了。例如，本題我們也可以這樣估計：

　　但y是取不到-7的。即-7不能作為y的最小值。

　　例2. 求函數的最大值和最小值。

　　解 去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.

　　當時，這是一個關于x的二次方程，因為x、y均為實數，所以

　　D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)30, y2+3y--4￡0,

　　所以　 -4￡y￡1

　　又當時，y=-4;x=-2時，y=1.所以ymin=-4，ymax=1.

　　說明　 本題求是最值的方法叫做判別式法。

　　例3.求函數，x?[0,1]的最大值

　　解：設，則x=t2-1

　　y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1

　　原函數當t=時取最大值

　　例4求函數的最小值和最大值

　　解：令x-1=t ()

　　則

　　ymin=

　　例5.已知實數x,y滿足1￡x2+y2￡4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值

　　解：∵

　　∴

　　又當時f(x,y)=6，故f(x,y)max=6

　　又因為

　　∴

　　又當時f(x,y)=，故f(x,y)min=

　　例6.求函數的最大值和最小值

　　解：原函數即

　　令 (0<t￡1) 則y=5t2-t+1

　　∴當x=±3時，函數有最小值，當x=0時，函數取最大值5

　　例7.求函數的最大值

　　解：設，則

　　f(x)=

　　由于 0￡a<1,故f(x)￡，又當x= (k為整數)時f(x)= ,

　　故f(x)max=

　　例8.求函數的最大值

　　解：原函數即

　　在直角坐標系中，設點P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，則

　　f(x)=|PA|-|PB|￡|AB|=

　　又當時，f(x)=

　　故f max (x) =

　　例9.設a是實數,求二次函數y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，當0￡a2-4a-2￡10中變動時，求m的最大值

　　解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a

　　由0￡a2-4a-2￡10解得：或￡a￡6

　　故當a=6時，m取最大值18

　　例10.已知函數f(x)=log2(x+1)，并且當點(x,y)在y=f(x)的圖象上運動時，點在y=g(x)的圖象上運動，求函數p(x)=g(x)-f(x)的最大值。

　　解 因為點(x,y)在y=f(x)的圖象上，所以y=log2(x+1)。點在y=g(x)的圖象上，所以故

　　令， 則

　　當，即時，，所以

　　從而 。

　　例11.已知函數的最小值是2，最大值是6，求實數a、b的值。

　　解：將原函數去分母，并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.

　　若y=a，即y是常數，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y 1a。于是

　　D=b2-4(a-y)(6-2y)30,所以y2-(a+3)y+3a-￡0.

　　由題設，y的最小值為2，最大值為6，所以(y-2)(y-6)￡0, 即 y2-8y+12￡0.

　　由(1)、(2)得　 解得：

　　例12.求函數 的最小值和最大值。

　　解 先求定義域。由　 最6￡x￡8.

　　當x?[6,8]，且x增加時，增大，而減小，于是f(x)是隨著x的增加而減小，即f(x)在區間[6，8]上是減函數。所以

　　fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=0

　　例13.設x,y,z是3個不全為零的實數，求的最大值

　　分析：欲求的最大值，只須找一個最小常數k，使得xy+2yz￡k(x2+y2+z2)

　　∵ x2+ay232xy　 (1-a)y2+z232yz

　　∴ x2+y2+z232xy+2yz

　　令2=,則a=

　　解：∵

　　∴

　　即

　　又當x=1,y=，z=2時，上面不等號成立，從而的最大值為

　　例14.設函數f:(0,1)?R定義為求f(x)在區間上的最大值

　　解：(1)若x?且x是無理數，則

　　f(x)=x<

　　(2) 若x?且x是有理數，設，其中(p,q)=1,0<p<q,由于

　　63q+9￡64q-8，∴q317

　　因此

　　∴f(x)在區間上的最大值

　　作業：

　　1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值

　　2.設x,y是實數，且求u=x+y的最小值

　　3.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 (k?R)的兩個實數根，求x12+x22的最大值和最小值

　　4.求函數的最小值