覆蓋

2009-08-31 11:11:33網絡來源

一個半徑為1的單位圓顯然是可以蓋住一個半徑為的圓的．反過來則不然，一個半徑為的圓無法蓋住單位圓．那么兩個半徑為的圓能否蓋住呢？不妨動手實驗一下，不行．為什么不行？需幾個這樣的小圓方能蓋住大圓？……，這里我們討論的就是覆蓋問題，它是我們經常遇到的一類有趣而又困難的問題．

定義設Ｇ和Ｆ是兩個平面圖形．如果圖形Ｆ或由圖形Ｆ經過有限次的平移、旋轉、對稱等變換扣得到的大小形狀不變的圖形Ｆ′上的每一點都在圖形Ｇ上．我們就說圖形Ｇ覆蓋圖形Ｆ；反之，如果圖形Ｆ或Ｆ′上至少存在一點不在Ｇ上，我們就說圖形Ｇ不能覆蓋圖形Ｆ．

關于圖形覆蓋，下述性質是十分明顯的：

（１）圖形Ｇ覆蓋自身；

（２）圖形Ｇ覆蓋圖形Ｅ，圖形Ｅ覆蓋圖形Ｆ，則圖形Ｇ覆蓋圖形Ｆ．

１．最簡單情形――用一個圓覆蓋一個圖形．

首先根據覆蓋和圓的定義及性質即可得到：

定理１如果能在圖形Ｆ所在平面上找到一點Ｏ，使得圖形Ｆ中的每一點與Ｏ的距離都不大于定長ｒ，則Ｆ可被一半徑為ｒ的圓所覆蓋．

定理２對于二定點Ａ、Ｂ及定角α若圖形Ｆ中的每點都在ＡＢ同側，且對Ａ、Ｂ視角不小于α，則圖形Ｆ被以ＡＢ為弦，對ＡＢ視角等于α的弓形Ｇ所覆蓋．

在用圓去覆蓋圖形的有關問題的研究中，上述二定理應用十分廣泛．

例１求證：（１）周長為２ｌ的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（２）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是２ｌ，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．

分析（１）關鍵在于圓心位置，考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（２）＂曲＂化＂直＂．對比（１），應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．

證明（１）如圖４５－１，設ＡＢＣＤ的周長為２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ為周界上任意一點，不妨設在ＡＢ上，則

∠１≤∠２≤∠３，

有ＯＰ≤ＯＡ．

又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ，

故ＯＡ＜．

因此周長為２ｌ的平行四邊形ＡＢＣＤ可被以Ｏ為圓心；半徑為的圓所覆蓋，命題得證．

（2）如圖45-2,在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l.又設RQ中點為G，M為線圈恥任意一點，連MR、MQ，則

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．

例２△ABC的最大邊長是ａ，則這個三角形可被一半徑為的圓所覆蓋．

分析ａ為最大邊，所對角A滿足６０°≤A＜１８０°．

證明不妨設BC＝ａ，以BC為弦，在A點所在一側作含60°角的弓形弧（圖４５－３）．因６０°≤A≤180°，故根據定理２，△ABC可被該弓形所覆蓋．

由正弦定理，弓形相應半徑ｒ＝，所以△ABC可被半徑為的圓所覆

蓋．

顯然覆蓋△ABC的圓有無窮多個，那么半徑為的圓是否是最小的覆蓋圓呢？事實并不

盡然．

例３ △ＡＢＣ的最大邊BC等于ａ，試求出覆蓋△ABC的最小圓．

解分三種情形進行討論：

（１） ∠Ａ為鈍角，以ＢＣ為直徑作圓即可覆蓋△ＡBC．

（２） ∠Ａ是直角，同樣以ＢＣ為直徑作圓即可覆蓋△ABC；

（３）∠Ａ是銳角．假若⊙O覆蓋△ABC，我們可在⊙O內平移△ABC，使一個頂點B落到圓周上，再經過適當旋轉，使另一個頂點落在圓周上，此時第三個頂點A在⊙O內或其圓周上，設BC所對圓周角為α，那么∠BAC≥α，設⊙O直徑ｄ，△ABC外接圓直徑ｄ_０，那么

所以對于銳角三角形ABC，最小覆蓋圓是它的外接圓．

今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個為F的最小覆蓋圓．最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的覆蓋半徑．

綜合例２、例３，即知△ABC中，若ａ為最大邊，則△ABC的覆蓋半徑ｒ滿足

２．一個圖形Ｆ能否被覆蓋，與圖形中任意兩點間的距離最大值ｄ密切相關．

以下我們稱圖形Ｆ中任意兩點間的距離最大值ｄ為圖形Ｆ的直徑．

我們繼續研究多個圓覆蓋一個圖形問題．

定義對于圖形Ｇ_１，Ｇ_２，…，Ｇ_ｎ，若圖形Ｆ中的每一點都被這組圖形中的某個所覆蓋，則稱這幾個圖形覆蓋圖形Ｆ．

圖形Ｇ_１，Ｇ_２，…，Ｇ_ｎ為ｎ個圓是一特殊情形．

例４以ＡＢＣＤ的邊為直徑向平行四邊形內作四個半圓，證明這四個半圓一定覆蓋整個平行四邊形．

分析１ＡＢＣＤ的每一點至少被某個半圓所蓋住．

證明１用反證法．如圖４５－４設存在一點Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ為直徑的圓外，根據定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０°，從而

∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋∠ＤＰＡ＜３６０°．

與四角和應為周角相矛盾．故Ｐ應被其中一半圓蓋住，即所作四個半圓覆蓋ＡＢＣＤ．

分析２劃片包干，如圖４５－５，將ＡＢＣＤ分為若干部分，使每一部分分別都被上述四個半圓所覆蓋．

證明２在ＡＢＣＤ中，如圖４５－５，設ＡＣ≥ＢＤ．分別過Ｂ、Ｄ引垂線ＢＥ、ＤＦ垂直ＡＣ，交ＡＣ于Ｅ、Ｆ，將ＡＢＣＤ分成四個直角三角形，△ＡＢＥ、△ＢＣＥ、△ＣＤＦ、△ＤＡＦ．每一個直角三角形恰好被一半圓所覆蓋，從而整個四邊形被四個半圓所覆蓋．

上述結論可推廣到任意四邊形，留給讀者考慮．

例５求證：一個直徑為１的圓不能被兩個直徑小于１的圓所覆蓋．

證明如圖４５－６，先考慮其中一個小圓即⊙Ｏ_１去覆蓋大圓Ｏ，連Ｏ_１、Ｏ過Ｏ作ＡＢ⊥Ｏ_１Ｏ，ＡＢ為⊙Ｏ的直徑（若Ｏ_１、Ｏ重合，那么ＡＢ為任意直徑）此時

故Ａ、Ｂ兩點都不能被⊙Ｏ_１蓋住．至于另一小圓⊙Ｏ_２無疑不能同時蓋住Ａ、Ｂ兩點，故⊙Ｏ_１、⊙Ｏ_２不能覆蓋⊙Ｏ．

事實上，我們還可以從另一角度給予證明．那就是一個小圓無法覆蓋半個大圓，因此兩個小圓也就不可能覆蓋住整個大圓了．

現在，我們著手研究本文一開始就提出的問題．

例６給定一個半徑為１的圓，若用半徑為的圓去覆蓋它，問至少要幾個才能蓋住．

問題需要我們在二個方面給予回答：一是所確定數目的小圓足以覆蓋大圓；二是少于確定的數目，則全部小圓不能覆蓋大圓．

對于不能覆蓋的推斷，以下兩個原則是常用的：

原則１若圖形Ｆ的面積大于圖形Ｇ的面積，則圖形Ｇ不能覆蓋圖形Ｆ．

原則２直徑為ｄ的圖形Ｆ不能被直徑小于ｄ的圖形Ｇ所覆蓋．

兩原則十分顯然，不再證明．

四個半徑為的小圓面積和為π，恰等于大圓面積，而四小圓間若不重迭，則覆蓋其它圖形時，還須排除中間所夾的不屬于四圓的部分，換句話說，四小圓所覆蓋大圓部分面積必小于大圓自身面積，根據法則１，不可能覆蓋大圓，少于四個小圓更不可能．

若有五個小圓，我們改變角度考慮，可將大圓周分為六等分．因小圓直徑為１，五個小圓無法蓋住大圓周，而六個圓周恰好蓋住．

還需考慮大圓圓心沒有被蓋住，再添加一個小圓，符合要求！

這說明：至少七個以為半徑的小圓方能覆覆蓋半徑為1的一個大圓.事實上這樣的六個小圓若蓋住大圓周，則大圓心不能被覆蓋．若其中一小圓蓋住大圓圓心，那么該圓又至多蓋住大圓周上一點也就是六個小圓無法覆蓋大圓，而我們作大圓的內接正六邊形，分別將小圓圓心與各邊中點重合，再將第七個小圓圓心與大圓圓心重合即可蓋住大圓，如圖４５－７，以下給出證明：

對于正△ＯＡＢ，設ＯＡ、ＯＢ中點Ａ_１、Ｂ_１，那么∠ＡＡ_１Ｂ＝∠ＡＢ_１Ｂ＝９０°，故四邊形ＡＡ_１Ｂ_１Ｂ被以ＡＢ為直徑的圓覆蓋．另外，△ＯＡ_１Ｂ_１被小圓⊙Ｏ所覆蓋．類似地可推得七個小圓覆蓋整個大圓．

３．直線形圖形覆蓋別的圖形的問題

解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問題，常須較高的智巧，一般的處理方法是通過構造過渡圖形，逐步調整，最終獲得問題的解決．

例７證明直徑為１的圖形Ｆ可被單位正方形覆蓋．

分析先后用互相垂直的兩對平行線將圖形夾在中間，再向內收縮．

證明取位于水平方向和鉛直方向的兩對平行直線將圖形Ｆ夾在中間，再將位于下方的直線ｌ_２向上平移，直至遇到圖形Ｆ上點為止，中圖４５－８中ｌ_２′處．接著又將ｌ_１向下平移至與ｌ_２′相距為１的ｌ_１′處止．因圖形Ｆ直徑為１．故圖形Ｆ仍被二直線ｌ_１′，ｌ_２′所夾．同樣采用先左后右的順序，將沿直線ｍ_１、ｍ_２平移至ｍ_１′、ｍ_２′處，ｍ_１′、ｍ_２′相距為１，而圖形Ｆ依然夾在直線ｍ_１′，ｍ_２′中間，從而直線ｌ_１′、ｌ_２′、ｍ_１′、ｍ_２′所圍成單位正方形即可覆蓋圖形Ｆ．

運用上述方法，我們可進一步解決以下問題：

例８直徑為１的圖形Ｆ可被一個邊長為的正三角形覆蓋，試證明之．

證明作三對相距為１的平行直線ｍ_１、ｍ_２、ｎ_１、ｎ_２，ｌ_１、ｌ_２，相交直線所成角為６０°，圍成可覆蓋圖形Ｆ的六邊形及正△Ａ_１Ｂ_１Ｃ_１，正△Ａ_２Ｂ_２Ｃ_２（具體作法可參照例７）．如圖４５－９．設Ｐ為Ｆ中任意一點，它到六邊形各邊距離依次為ｘ、ａ、ｙ、ｂ、ｚ、ｃ．又設正△Ａ_１Ｂ_１Ｃ_１的高為ｈ_１，正△Ａ₂Ｂ_２Ｃ_２的高為ｈ_２．因正三角形內一點到三邊距離和等于正三角形的高，得