三角函數(shù)

幾何中的兩個(gè)基本量是：線段的長度和角的大小.三角函數(shù)的本質(zhì)就是用線段長度之比來表示角的大小，從而將兩個(gè)基本量聯(lián)系在一起，使我們可以借助三角變換或三角計(jì)算來解決一些較難的幾何問題.三角函數(shù)不僅是一門有趣的學(xué)問，而且是解決幾何問題的有力工具.

1．  角函數(shù)的計(jì)算和證明問題

在解三角函數(shù)問題之前，除了熟知初三教材中的有關(guān)知識(shí)外，還應(yīng)該掌握：

（1）三角函數(shù)的單調(diào)性 當(dāng)a為銳角時(shí)，sina與tga的值隨a的值增大而增大；cosa與ctga隨a的值增大而減小；當(dāng)a為鈍角時(shí)，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)討論.

注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,當(dāng)時(shí)0＜a＜45°時(shí),cosa＞sina;當(dāng)45°＜a＜90°時(shí),cosa＜sina.

(2)三角函數(shù)的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意實(shí)數(shù)值（這一點(diǎn)可直接利用三角函數(shù)定義導(dǎo)出）.

例1（1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽備用題）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（   ）

（A）銳角    （B）鈍角    （C）直角

分析  對A分類，結(jié)合sinA和cosA的單調(diào)性用枚舉法討論.

解當(dāng)A=90°時(shí)，sinA和cosA=1；

當(dāng)45°＜A＜90°時(shí)sinA＞，cosA＞0，

∴sinA+cosA＞

當(dāng)A=45°時(shí)，sinA+cosA=

當(dāng)0＜A＜45°時(shí)，sinA＞0,cosA＞

∴sinA+cosA＞

∵1, 都大于.

∴淘汰（A）、（C），選（B）.

例2（1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）ctg67°30′的值是（   ）

（A）-1    （B）2-   （C）-1

（D）       （E）

分析  構(gòu)造一個(gè)有一銳角恰為67°30′的Rt△，再用余切定義求之.

解  如圖36-1，作等腰Rt△ABC，設(shè)∠B=90°，AB=BC=1.延長BA到D使AD=AC，連DC，則AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.這時(shí)，

ctg67°30′=ctg∠DCB=

∴選(A).

例3(1990年南昌市初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖,在△ABC中,∠A所對的BC邊的邊長等于a,旁切圓⊙O的半徑為R,且分別切BC及AB、AC的延長線于D，E，F(xiàn).求證:

R≤a·

證明  作△ABC的內(nèi)切圓O′,分別切三邊于G,H,K.由對稱性知GE=KF(如圖36-2).設(shè)GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.則

x+a=y+b,       ①

且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,

x-a=y-b.        ②

①+②得,x=y.從而知a=b.

∴GE=BC=a.

設(shè)⊙O′半徑為r.顯然R+r≤OO′ (當(dāng)AB=AC)時(shí)取等號(hào).

作O′M⊥EO于M,則O′M=GE=a,∠OO′M=

∴R+r≤

兩式相加即得R≤.

例4（1985年武漢等四市初中聯(lián)賽題）凸4n+2邊形A₁A₂A₃…A_4n+2（n為自然數(shù)）各內(nèi)角都是30°的整數(shù)倍，已知關(guān)于x的方程：

x²+2xsinA₁+sinA₂=0               ①

x²+2xsinA₂+sinA₃=0               ②

x²+2xsinA₃+sinA₁=0               ③

都有實(shí)根，求這凸4n+2邊形各內(nèi)角的度數(shù).

解∵各內(nèi)角只能是、、、，

∴正弦值只能取

當(dāng)sinA₁=時(shí)，∵sinA₂≥sinA₃≥

∴方程①的判別式

△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤440

方程①無實(shí)根，與已知矛盾，故sinA₁≠.

當(dāng)sinA₁=時(shí)，sinA₂≥，sinA₃≥，

∴方程①的判別式

△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=0.

方程①無實(shí)根，與已知矛盾，故sinA₁=.

綜上所述，可知sinA₁=1，A₁=.

同理，A₂=A₃=.

這樣其余4n-1個(gè)內(nèi)角之和為這些角均不大于

又n為自然數(shù)，∴n=1,凸n邊形為6邊形,且  

A₄+A₅+A₆=4×

2.解三角形和三角法

定理  

推論設(shè)  a、b、c、S與a′、b′、c′、S′.若

我們在正、余弦定理之前介紹上述定理和推論是為了在解三角形和用三角函數(shù)解幾何題時(shí)有更大的自由.

（1）       解三角形

例5（第37屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）在圖36-3中，AB是圓的直徑，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面積之比是(  ).

(A)cosα(B)sinα(C)cos²α(D)sin²α(E)1-sinα

解  如圖，因?yàn)锳B∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此連結(jié)AD，因?yàn)锳B是直徑，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.

∴應(yīng)選(C).

例6          (1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖36-4,已知Rt△斜邊AB=c, ∠A=α,求內(nèi)接正方形的邊長.

解  過C作AB的垂線CH，分別與GF、AB交于P、H，則由題意可得

又∵△ABC∽△GFC，∴，即

（2）       三角法.利用三角知識(shí)（包括下一講介紹的正、余弦定理）解幾何問題的方法叫三角法.其特點(diǎn)是將幾何圖形中的線段，面積等用某些角的三角函數(shù)表示，通過三角變換來達(dá)到計(jì)算和證明的目的，思路簡單，從而減少幾何計(jì)算和證明中技巧性很強(qiáng)的作輔助線的困難.

例7（1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽征集題）如圖36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，則△AFE和四邊形FBCE的面積之比是（  ）

（A）      1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4

解   由BE、CF是高知F、B、C、E四點(diǎn)共圓，得AF·AB=AE·AC.

在Rt△ABE中，∠ABE=，

∴S_△AFE∶S_FBCE=1∶1.應(yīng)選(C).

例8   (1981年上海中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)在△ABC中∠C為鈍角,AB邊上的高為h,求證:AB＞2h.

證明  如圖36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)     ①

∵∠C是鈍角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②

由①、②和代數(shù)基本不等式，得

例9          （第18屆國際數(shù)學(xué)競賽題）已知面積為32cm²的平面凸四邊形中一組對邊與一條對角線之長的和為16cm.試確定另一條對角線的所有可能的長度.

解   如圖36-7，設(shè)四邊形ABCD面積S為32cm^2，并設(shè)AD=y,AC=x,BC=z.則x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.這時(shí)易知另一條對角線BD的長為此處無圖

例10       (1964年福建中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數(shù)n≥3,求證:aⁿ+bⁿ＜cⁿ.

分析  如圖34-8,注意到Rt△ABC的邊角關(guān)系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可將不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式sinⁿα+cosⁿα＜1來討論.

證明   設(shè)直角三角形一銳角∠BAC=α(如圖),則