2000中國數(shù)學奧林匹克（第十五屆全國中學生數(shù)學冬令營）

　　2000中國數(shù)學奧林匹克（第十五屆全國中學生數(shù)學冬令營）

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　　第一天

　　一、設a、b、c為△ABC的三條邊，a≤b≤c，R和r分別為△ABC的外接圓半徑和內切圓半徑.令f=a+b－2R－2r，試用角C的大小來判定f的符號.

　　二、數(shù)列{an}定義如下：a1=0，a2=1，an=(1/2)nan-11+(1/2)n(n－1)an-22+(－1)n(1－n/2)，n≥3.試求fn=an+2Cn1an-11+3Cn2an-22+…+（n－1）Cnn-2-2a2+nCnn-1-1a1的最簡表達式.

　　三、某乒乓俱樂部組織交流活動，安排符合以下規(guī)則的雙打賽程表.規(guī)則為：

　�。╥）每名參加者至多屬于兩個對子；

　　（ii）任意兩個不同對子之間至多進行一次雙打；

　　（iii）凡表中同屬一對的兩人就不在任何雙打中作為對手相遇.

　　統(tǒng)計各人參加的雙打次數(shù)，約定將所有不同的次數(shù)組成的集合稱為“賽次集”.

　　給定由不同的正整數(shù)組成的集合A={a1，a2，…，ak}，其中每個數(shù)都能被6整除.試問最少必須有多少人參加活動，才可以安排符合上述規(guī)則的賽程表，使得相應的賽次集恰為A.請證明你的結論.

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　　第二天

　　四、設n≥2.對n元有序實數(shù)組A=（a1，a2，…，an），令bk=ai，k=1，2，…，n.

　　稱B=（b1，b2，…，bn）為A的“創(chuàng)新數(shù)組”；稱B中的不同元素個數(shù)為A的“創(chuàng)新階數(shù)”.

　　考察1，2，…，n的所有排列（將每種排列都視為一個有序數(shù)組），對其中創(chuàng)新階數(shù)為2的所有排列，求它們的第一項的算術平均值.

　　五、若對正整數(shù)n，存在k，使得n=n1n2…nk=－1，其中n1，…，nk都是大于3的整數(shù)，則稱n具有性質P.求具有性質P的所有數(shù)n.

　　六、某次考試有5道選擇題，每題都有4個不同答案供選擇.每人每題恰選1個答案.在2000份答卷中發(fā)現(xiàn)存在一個n，使得任何n份答卷中都存在4份，其中每兩份的答案都至多3題相同.求n的最小可能值.