1999中國數學奧林匹克（北京）（第十四屆全國中學生數學冬令營）

　　第一天（1999年1月11日上午8:00-12:30）

　　一、在銳角△ABC中，∠C＞∠B，點D是邊BC上一點，使得∠ADB是鈍角，H是△ABD的垂心，點F在△ABC內部且在△ABD的外接圓周上，求證點F是△ABC垂心的充分必要條件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圓周上.

　　二、給定實數a，設實多項式序列{fn(x)}滿足f0(x)=1，fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax)，n=0,1,2,……

　�。�1）求證fn(x)=xnfn(1/x)，n=0,1,2,……

　�。�2）求fn(x)的明顯表達式.

　　三、MO太空城由99個空間站組成。任兩空間站之間有管形通道相聯。規定其中99條通道為雙向通行的主干道，其余通道嚴格單向通行。如果某四個空間站可能通過它們之間的通道從其中任一站到達另外任一站，則稱這四個站的集合為一個互通四站組。

　　試為MO太空城設計一個方案，使得互通四站組的數目最大（請具體算出該最大數，并證明你的結論）

　　--------------------------------------------------------------------------------

　　第二天（1999年1月12日上午8:00-12:30）

　　四、設m是給定的整數.求證：存在整數a，b和k.其中a，b均不能被2整除，k≥0，使得

　　2m=a19+b99+k·21999.

　　五、求最大的實數λ，使得當實系數多項式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非負實數時，只要x≥0，就有f(x)≥λ(x－a)3.并問上式中等號何時成立？

　　六、設4×4×4的大正方體由64個單位正方體組成.選取其中的16個單位正方體涂成紅色，使得大正方體中每個由4個單位正方體構成的1×1×4的小長方體中，都恰有1個紅正方體.問16個紅正方體共有多少種不同取法？說明理由.