二○○一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題

考生注意：1、本試卷共三大題（15個(gè)小題），全卷滿分150分．

2、用圓珠筆或鋼筆作答．

3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線．

4、不能使用計(jì)算器．

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

　　　 本題共有6小題，每題均給出（A）、（B）、（C）、（D）四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的．請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)．每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分．

1．已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合M={x| x²-3x-a²+2=0，x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為

（A）　 1　　　　　 （B）　 2　　　　　 （C）　 4　　　　　 （D）　 不確定

【答】（　　　　　　 ）

2． 命題1 長(zhǎng)方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn);

命題2 長(zhǎng)方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn);

　 命題3 長(zhǎng)方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn).

以上三個(gè)命題中正確的有　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　

（A） 0個(gè)　　 （B） 1個(gè)　　 （C） 2個(gè)　 （D） 3個(gè)

【答】（　　　　　　 ）

3．在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以為周期、在（0，）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）　 y=sin|x|　 （B） y=cos|x|　　　 （C）　 y=|ctgx|　　　　 （D）　 y=lg|sinx|

【答】（　　　　　　 ）

4．如果滿足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是

（A） k= （B） 0<k≤12 　 （C） k≥12　　 　 （D） 0<k≤12或k=

【答】（　　　　　　 ）

5．若的展開(kāi)式為，則的值為

（A）　 　 （B） 　　（C） 　　（D） 　

【答】（　　　　　　 ）

6．已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元，而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價(jià)格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較結(jié)果是

（A）　 2枝玫瑰價(jià)格高　　　　　　　 （B）　 3枝康乃馨價(jià)格高

（C）　 價(jià)格相同　　　　　　　　　　　　 （D）　 不確定

【答】（　　　　　　 ）

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

本題共有6小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上．

7．橢圓的短軸長(zhǎng)等于　　　　　　 ．

8．若復(fù)數(shù)z₁，z₂滿足| z₁|=2，| z₂|=3，3z₁-2z₂=，則z₁·z₂=　　　　　　 ．

9．正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則直線A₁C₁與BD₁的距離是　　　　　 ．

10. 不等式的解集為　 　　　　．

11．函數(shù)的值域?yàn)?u>　　　　　　 ．

12．在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物．現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有　　　　　　 種栽種方案．

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13．設(shè){a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁<a₂） ，又．試求{a_n}的首項(xiàng)與公差．

14．設(shè)曲線C₁：（a為正常數(shù)）與C₂：y²=2（x+m） 在x軸上方僅有一個(gè)公共點(diǎn)P．

⑴ 求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；

⑵ O為原點(diǎn)，若C₁與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時(shí)，試求ΔOAP的面積的最大值（用a表示）．

15．用電阻值分別為a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ (a₁>a₂>a₃>a₄>a₅>a₆) 的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最小？證明你的結(jié)論．