二○○一年全國高中數學聯合競賽試題

考生注意：1、本試卷共三大題（15個小題），全卷滿分150分．

2、用圓珠筆或鋼筆作答．

3、解題書寫不要超出裝訂線．

4、不能使用計算器．

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

　　　 本題共有6小題，每題均給出（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中有且僅有一個是正確的．請將正確答案的代表字母填在題后的括號內．每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分．

1．已知a為給定的實數，那么集合M={x| x²-3x-a²+2=0，x∈R}的子集的個數為

（A）　 1　　　　　 （B）　 2　　　　　 （C）　 4　　　　　 （D）　 不確定

【答】（　　　　　　 ）

2． 命題1 長方體中，必存在到各頂點距離相等的點;

命題2 長方體中，必存在到各棱距離相等的點;

　 命題3 長方體中，必存在到各面距離相等的點.

以上三個命題中正確的有　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　

（A） 0個　　 （B） 1個　　 （C） 2個　 （D） 3個

【答】（　　　　　　 ）

3．在四個函數y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以為周期、在（0，）上單調遞增的偶函數是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）　 y=sin|x|　 （B） y=cos|x|　　　 （C）　 y=|ctgx|　　　　 （D）　 y=lg|sinx|

【答】（　　　　　　 ）

4．如果滿足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一個，那么k的取值范圍是

（A） k= （B） 0<k≤12 　 （C） k≥12　　 　 （D） 0<k≤12或k=

【答】（　　　　　　 ）

5．若的展開式為，則的值為

（A）　 　 （B） 　　（C） 　　（D） 　

【答】（　　　　　　 ）

6．已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元，則2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比較結果是

（A）　 2枝玫瑰價格高　　　　　　　 （B）　 3枝康乃馨價格高

（C）　 價格相同　　　　　　　　　　　　 （D）　 不確定

【答】（　　　　　　 ）

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上．

7．橢圓的短軸長等于　　　　　　 ．

8．若復數z₁，z₂滿足| z₁|=2，| z₂|=3，3z₁-2z₂=，則z₁·z₂=　　　　　　 ．

9．正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為1，則直線A₁C₁與BD₁的距離是　　　　　 ．

10. 不等式的解集為　 　　　　．

11．函數的值域為　　　　　　 ．

12．在一個正六邊形的六個區域栽種觀賞植物（如圖），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物．現有4種不同的植物可供選擇，則有　　　　　　 種栽種方案．

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13．設{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁<a₂） ，又．試求{a_n}的首項與公差．

14．設曲線C₁：（a為正常數）與C₂：y²=2（x+m） 在x軸上方僅有一個公共點P．

⑴ 求實數m的取值范圍（用a表示）；

⑵ O為原點，若C₁與x軸的負半軸交于點A，當0<a<時，試求ΔOAP的面積的最大值（用a表示）．

15．用電阻值分別為a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ (a₁>a₂>a₃>a₄>a₅>a₆) 的電阻組裝成一個如圖的組件，在組裝中應如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最小？證明你的結論．