方法指導：如何突破數學命題難點

　　一、 定位整體

　　新課程標準對“常用邏輯用語”的定位為:“正確使用邏輯用語是現代社會公民應該具備的基本素質，無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確的運用邏輯用語表達自己的思想.在本模塊中，同學們將在義務教育的基礎上，學習常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，更好地進行交流.” 因此，學習邏輯用語，不僅要了解數理邏輯的有關知識，還要體會邏輯用語在表述或論證中的作用，使以后的論證和表述更加準確、清晰和簡潔.

　　二、 明確重點

　　“常用邏輯用語”分成三大節，分別為：命題及其關系，簡單的邏輯聯結詞，全稱量詞與存在量詞.

　　“命題及其關系”分兩小節：一、“四種命題”，此節重點在于四種命題形式及其關系，互為逆否命題的等價性；二、“充分條件和必要條件”，此節重點在于充分條件、必要條件、充要條件的準確理解以及正確判斷.

　　“簡單的邏輯聯結詞”重點在于“且”、 “或”、 “非”這三個邏輯聯結詞的理解和應用.

　　“全稱量詞與存在量詞”重點在于理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個量詞的命題的否定.

　　三、 突破難點

　　1. “四種命題”的難點在于分清命題的條件和結論以及判斷命題的真假

　　例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

　　（1） 全等三角形的面積相等；

　　（2） m＞時，方程mx2-x+1=0無實根；

　　（3） 若sinα≠，則α≠30°.

　　解析 （1） 條件為兩個三角形全等，結論為它們的面積相等.因此，原命題即為“若兩個三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個三角形面積相等，則它們全等”，否命題為“若兩個三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個三角形面積不相等，則它們不全等”.根據平面幾何知識，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

　　（2） 原命題即為“若m＞，則方程mx2-x+1=0無實根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無實根，則m＞”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實根，則m≤”.根據判別式Δ=1-4m的正負可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.

　　（3） 原命題即為“若sinα≠，則α≠30°”，逆命題為“若α≠30°，則sinα≠”，否命題為“若sinα=，則α=30°”，逆否命題為“若α=30°，則sinα=”.直接判斷原命題與逆命題真假有些困難，但考慮到原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價，因此可以先考慮逆否命題和否命題；由三角函數的知識，可知原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

　　突破 對于判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結論，然后根據相應的知識進行判斷，當原命題不容易直接判斷時，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.

　　2. “充分條件和必要條件”的難點在于充要性的判斷

　　例2 在下列命題中，判斷p是q的什么條件.（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種）

　　（1） p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有實根.

　　（2） p：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　（3） 設集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N.

　　解析 （1） 當|p|≥2時，例如p=3，此時方程x2+px+p+3=0無實根，因此“若p則q”為假命題；當方程x2+px+p+3=0有實根時，根據判別式有p≤-2或p≥6，此時|p|≥2成立，因此“若q則p”為真命題.故p是q的必要不充分條件.

　　（2） 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，化簡可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p則q”為真命題；反過來，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，由解析幾何知識得圓與直線相切，因此“若q則p”為真命題.故p是q的充要條件.

　　（3） M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此時顯然有x∈R，因此“若p則q”為真命題；反過來，若x∈R，例如x=5，此時x?埸（2，3），因此“若q則p”為假命題.故p是q的充分不必要條件.

　　突破 ①從邏輯的觀點理解：判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性，若“若p則q”為真命題，則p是q的充分條件；若“若q則p”為真命題，則p是q的必要條件；若兩者都是真命題，則p是q的充要條件；若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件.②從集合的觀點理解：建立命題p，q相應的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}.那么:若A?哿B，則p是q的充分條件；若B?哿A，則p是q的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

　　例3 已知數列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求證:數列{an}為等比數列的充要條件為q=-1.

　　解析 充分性:當q=-1時，a1=p-1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是當n≥1時，=p，即數列{an}為等比數列.

　　必要性：當n=1時，a1=S1=p+q；當n≥2時，an=Sn-Sn-1

　　=pn-1（p-1）.因為p≠0且p≠1，于是=p.又因為數列{an}為等比數列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

　　綜上所述，q=-1為數列{an}為等比數列的充要條件.

　　突破 證明p是q的充要條件需要分兩步：①充分性，把p作為已知條件，結合命題的前提條件，推出q；②必要性，把q作為已知條件，結合命題的前提條件，推出p.最后綜上所述，可得p是q的充要條件.特別注意:充分條件的意義只在于保證結論成立，而不管它對結論成立是否必要；必要條件的意義只在于要使結論成立它必不可少，而不管它對結論成立是否充分.因此，在進行恒等變形或探求充要條件的過程中，只注意推導過程的充分性，其結果有可能縮小范圍；只注意推導過程的必要性，其結果有可能擴大范圍.

　　3. “簡單邏輯聯結詞”的難點在于復合命題的真假性判斷以及“命題的否定”與“否命題”的區分

　　例4 指出下列命題的真假.

　　（1） -1是奇數或偶數；

　　（2） 屬于集合Q，也屬于集合R；

　　（3） A?埭（A∪B）.

　　解析 （1） 此命題為“p或q”的形式，其中p：-1是奇數；q：-1是偶數.因為p為真命題，所以原命題為真命題.

　　（2） 此命題為“p且q”的形式，其中p：屬于集合Q；q：屬于集合R.因為只有q為真命題，所以原命題為假命題.

　　（3） 此命題為“非p”的形式，其中p：A?哿（A∪B）.因為p為真命題，所以原命題為假命題.

　　突破 判斷如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的復合命題的真假時，首先要確定命題的構成形式，然后判斷其中各簡單命題的真假，最后再利用真值表判斷復合命題的真假.

　　例5 寫出下列各命題的否定和否命題.

　　（1） 若x+y是偶數，則x，y都是奇數；

　　（2） 若xy=0，則x=0或y=0.

　　解析 （1） 命題的否定：若x+y是偶數，則x，y不都是奇數；否命題：若x+y不是偶數，則x，y不都是奇數.

　　（2） 命題的否定:若xy=0，則x≠0且y≠0；否命題:若xy≠0，則x≠0且y≠0.

　　突破 命題的否定只是否定命題的結論，而否命題既否定題設，又否定結論.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”；“x，y都是奇數”的否定是“x，y不都是奇數”而不是“x，y都不是奇數”.

　　4. “全稱量詞與存在量詞”的難點在于全稱命題和存在性命題的真假性判斷以及含有一個量詞的命題的否定

　　例6 判斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，并判斷真假.

　　（1） 有一個實數α，tanα無意義；

　　（2） 任何一條直線都有斜率；

　　（3） ?堝x＜0，使x2+x+5＜0；

　　（4） 自然數的平方是正數.

　　解析 （1） 存在性命題，當α=時，tanα無意義，因此原命題為真命題.

　　（2） 全稱命題，當傾斜角為時，該直線斜率不存在，因此原命題為假命題.

　　（3） 存在性命題，由判別式可知Δ=1-4×5=-19＜0，所以對?坌x∈R，x2+x+5＞0，因此原命題為假命題.

　　（4） 全稱命題，存在自然數0，其平方不是正數，因此原命題為假命題.

　　突破 ①要判定全稱命題“?坌x∈M，p（x）”為真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p（x）成立；如果集合M中找到一個元素x0，使得p（x）不成立，那么這個全稱命題為假命題.②要判定存在性命題“?堝x0∈M，p（x）”為真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么這個存在性命題是假命題.

　　例7 寫出下列命題的否定.

　　（1） 面積相等的三角形是全等三角形；

　　（2） 有些質數是奇數；

　　（3） 對?坌x∈R，x2+x+1=0都成立；

　　（4） ?堝x∈R，x2+2x+5＞0.

　　解析 （1） 原命題是全稱命題，故其否定為:存在面積相等的三角形不是全等三角形.

　　（2） 原命題是存在性命題，故其否定為:所有的質數都不是奇數.

　　（3） 原命題是全稱命題，故其否定為:?堝x∈R，使x2+x+1≠0.

　　（4） 原命題是存在性命題，故其否定為: 對?坌x∈R，x2+2x+5≤0都成立.

　　突破 全稱命題與存在性命題的區別在于構成兩種命題的量詞不同.實質上，“全稱量詞”與“存在量詞”正好構成了意義相反的表述，因此在書寫全稱命題與存在性命題的否定時，一定要抓住決定命題性質的量詞，從對量詞的否定入手書寫命題的否定.全稱命題的否定是存在性命題，而存在性命題的否定是全稱命題.

　　1. （2011年安徽理科卷）命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是______________.

　　2. （ 2011年山東文科卷）已知a，b，c∈R，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是________.

　　3. （2011年湖南文科卷）“x＞1”是“|x|＞1”的

　　__________條件.

　　4. （2011年福建理科卷）若a∈R，則“a=2”是“（a-1）（a-2）=0”的______________條件.

　　5. （2011年浙江理科卷）“α=”是“cos2α=”的______________條件.

　　6. （2011年山東理科卷）對于函數y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的圖像關于y軸對稱”是“y=f（x）是奇函數”的____________條件.

　　7. （2011年浙江文科卷）若a，b為實數，則“0＜ab＜1”是“b＜”的______________條件.

　　8. （2011年四川文科卷）設函數f（x）的定義域為A，若x1，x2∈A且f （x1）=f（x2）時，總有x1=x2，則稱f（x）為單函數.例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數.

　　給出下列命題：① 函數f（x）=x2（x∈R）是單函數；② 指數函數f（x）=2x（x∈R）是單函數；③ 若f（x）為單函數，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；④ 在定義域上具有單調性的函數一定是單函數.其中的真命題是________.（寫出所有真命題的編號）

　　1. 存在一個能被2整除的數不是偶數. 2. 若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3. 3. 充分而不必要. 4. 充分而不必要. 5. 充分而不必要. 6. 必要而不充分. 　7. 既不充分也不必要. 8. ②③④.