高中數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解
2018-12-17 11:50:09網(wǎng)絡(luò)
一、數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)質(zhì)就是思維的轉(zhuǎn)化過程，在解題中，要不斷改變解題方向，從不同角度，不同的側(cè)面去探討問題的解法，尋求最佳方法。
在轉(zhuǎn)化過程中，應(yīng)遵循三個(gè)原則：
1、熟悉化原則，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；
2、簡單化原則，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題；
3、直觀化原則，即將抽象總是具體化.
策略一：正向向逆向轉(zhuǎn)化
一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一，解題時(shí)，如果從下面入手思維受阻，不妨從它的正面出發(fā)，逆向思維，往往會(huì)另有捷徑.
例1 ：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不共面的取法共有__________種.
A、150 B、147 C、144 D、141
分析：本題正面入手，情況復(fù)雜，若從反面去考慮，先求四點(diǎn)共面的取法總數(shù)再用補(bǔ)集思想，就簡單多了.
10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)取法有 種，其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)都共面有 種，同理其余3個(gè)面內(nèi)也有 種，又，每條棱與相對(duì)棱中點(diǎn)共面也有6種，各棱中點(diǎn)4點(diǎn)共面的有3種， 不共面取法有 種，應(yīng)選（D）.
策略二：局部向整體的轉(zhuǎn)化
從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細(xì)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問題，不單打獨(dú)斗.
例2：一個(gè)四面體所有棱長都是 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積為（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過程冗長，容易出錯(cuò)，但把正四面體補(bǔ)形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長為 ，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為 ，應(yīng)選（A）.
策略三：未知向已知轉(zhuǎn)化
又稱類比轉(zhuǎn)化，它是一種培養(yǎng)知識(shí)遷移能力的重要學(xué)習(xí)方法，解題中，若能抓住題目中已知關(guān)鍵信息，鎖定相似性，巧妙進(jìn)行類比轉(zhuǎn)換，答案就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生.
例3：在等差數(shù)列 中，若 ，則有等式
（ 成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列 中， ，則有等式_________成立.
分析：等差數(shù)列 中， ，必有 ，故有 類比等比數(shù)列 ，因?yàn)?，故 成立.
二、邏輯劃分思想
例題1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求實(shí)數(shù) a 取值的集合.
解 A= ： 分兩種情況討論
（1）B=￠，此時(shí)a=0；
(2)B為一元集合，B= ，此時(shí)又分兩種情況討論 ：
(i) B={-1}，則 =-1，a=-1
（ii）B={1}，則 =1， a=1.（二級(jí)分類）
綜合上述 所求集合為 .
例題2、設(shè)函數(shù)f(x)＝ax －2x＋2，對(duì)于滿足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
例題3、已知 ，試比較 的大小.
【分析】
于是可以知道解本題必須分類討論，其劃分點(diǎn)為 .
小結(jié)：分類討論的一般步驟：
（1）明確討論對(duì)象及對(duì)象的范圍P.（即對(duì)哪一個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論）；
（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，將P進(jìn)行合理分類，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏，不越級(jí)討論.；
（3）逐類討論，獲取階段性結(jié)果.（化整為零，各個(gè)擊破）；
（4）歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.（主元求并，副元分類作答）.
