三角函數(shù)積化和差公式
2019-01-15 20:28:29高三網(wǎng)
三角函數(shù)積化和差公式有哪些
積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
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三角函數(shù)積化和差公式證明公式
1、sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程
因為
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
將以上兩式的左右兩邊分別相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
設(shè) α+β=θ,α-β=φ
那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
2、根據(jù)歐拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
