高三寒假數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：把做過的題拿來分解

天津一中 陳慧民

在寒假中各校會(huì)留些作業(yè)，同學(xué)們在做題的過程中，一旦理解題意后，應(yīng)立即思考問題屬于數(shù)學(xué)哪一章節(jié)中的問題，與這一章節(jié)的哪個(gè)類型的題目比較接近?解決這個(gè)類型的題目的方法有哪些?哪個(gè)方法可以首先拿來試用?如果把題目的來源搞清了，在題后加上幾個(gè)批注，說明此題的“題眼”及巧妙之處，收益將更大。

看書：探尋高考命題影子

高考命題“源于教材，高于教材”，一定要抓住“課本”這個(gè)根本。建議同學(xué)們利用好寒假仔細(xì)梳理課本，重視教材中的基礎(chǔ)知識和基本方法，然后加以引申、變化，做到舉一反三。教科書上的例題不能看一下就過去了，因?yàn)榭磿r(shí)往往覺得什么都懂，其實(shí)自己并沒有理解透徹。所以，在看例題時(shí)，可以先把后面的解答內(nèi)容蓋住，自己去做，做完或做不出時(shí)再去看，這時(shí)要想一想，自己做的哪里與解答不同，哪里沒想到，該注意什么，哪一種方法更好，還有沒有另外的解法。經(jīng)過上面的訓(xùn)練，自己的思維空間擴(kuò)展了，看問題也全面了。

歸納：重歸納不搞“題海戰(zhàn)”

進(jìn)入高三以來作業(yè)多，訓(xùn)練量大。同學(xué)們?nèi)糁痪窒抻谧鐾觐}，結(jié)果就是花費(fèi)了大量時(shí)間、精力卻得不到好效果。建議同學(xué)們學(xué)會(huì)放松式做題，即把做過的題目拿出來分解，分解題目中所包含的數(shù)學(xué)思想和方法，分解題中所包含的知識點(diǎn)，掌握經(jīng)典題的解題步驟和思路，從中總結(jié)出解決一類數(shù)學(xué)問題的規(guī)律。著重研究解題的思維過程，弄清基本數(shù)學(xué)知識和基本數(shù)學(xué)思想在解題中的意義和作用，研究運(yùn)用不同的思維方法解決同一數(shù)學(xué)問題的多條途徑，在分析解決問題的過程中既構(gòu)建知識的橫向聯(lián)系又養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣。

所以我認(rèn)為，只要保證把做過的作業(yè)、隨堂訓(xùn)練、大小考試的題目吃透，使前面自己出現(xiàn)過的錯(cuò)誤不再重現(xiàn)，高考成功就有了保證。而這需要同學(xué)們積累錯(cuò)題，建立錯(cuò)題集，并及時(shí)翻閱復(fù)習(xí)。在這個(gè)過程中，要注意復(fù)習(xí)時(shí)不是隨便翻翻看看答案就行了，而是對做過的好題、難題重新分析，揣摩知識點(diǎn)，再現(xiàn)解題過程，從中領(lǐng)悟出試題的命題特征及命題趨勢。這些工作，如果前一段時(shí)間沒有做，寒假一定要補(bǔ)上。建立錯(cuò)題集要做到：(1)記下錯(cuò)誤是什么，最好用紅筆畫出。(2)錯(cuò)誤原因是什么，從審題、題目歸類、重現(xiàn)知識和找出答案四個(gè)環(huán)節(jié)來分析。(3)錯(cuò)誤糾正方法及注意事項(xiàng)。根據(jù)錯(cuò)誤原因的分析提出糾正方法并提醒自己下次碰到類似的情況應(yīng)注意些什么。縱觀數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，主要集中在三個(gè)方面，有的是分明會(huì)做，反而做錯(cuò)了的題;有的是記憶得不準(zhǔn)確，理解得不夠透徹，應(yīng)用得不夠自如，或者是回答不嚴(yán)密、不完整等等;還有的由于不會(huì)答錯(cuò)了或猜的，或者根本沒有答，這是無思路、不理解，更談不上應(yīng)用的問題。已經(jīng)有錯(cuò)題集的同學(xué)，假期中更要拿出來仔細(xì)研究。

強(qiáng)化：加強(qiáng)運(yùn)算能力訓(xùn)練

縱觀近幾年高考試題，數(shù)學(xué)高考?xì)v來重視運(yùn)算能力，80%以下的考分都要通過運(yùn)算得到，有學(xué)生平時(shí)愛用計(jì)算器，做題不徹底，結(jié)果一上考場，本來憑較好的數(shù)學(xué)直覺和快速反應(yīng)能力即可獲解的題目，最后硬是算不出來。建議同學(xué)們在寒假中強(qiáng)化運(yùn)算能力的訓(xùn)練。寒假前，各個(gè)學(xué)校都應(yīng)該已經(jīng)復(fù)習(xí)了數(shù)列和解析幾何的內(nèi)容，對于數(shù)列的綜合問題、直線與橢圓、直線與雙曲線的有關(guān)問題，涉及大量計(jì)算，同學(xué)們在假期中一定要獨(dú)立、完整、準(zhǔn)確地做幾道此類題目，克服畏難情緒。

1

1.(08湖南)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2-)an+sin2-，n=1，2，3，….

(Ⅰ)求a3，a4，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)bn=-，Sn=b1+b2+…+bn.證明：當(dāng)n ≥6時(shí)，|Sn-2|<-.

本題主要考查了簡單的三角函數(shù)知識、數(shù)列中等差等比數(shù)列的基本知識及錯(cuò)位相減求和及數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)列中常見的方法。考查了運(yùn)算能力與綜合解決問題的能力。

解 (Ⅰ)因?yàn)閍1=1，a2=2，所以

a3=(1+cos2-)a1+sin2-=a1+1=2，

an=(1+cos2)a2+sin2=2a2=4.

一般地，當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí)，a2k+1=[1+cos2-]a2k-1+sin2-=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1.

所以數(shù)列{a2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k-1=k.

當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí)，a2k+2=1+cos2-=2a2k.

所以數(shù)列{a2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k=2k.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn=-=-，

Sn=-+-+-+…+-①

-Sn=-+-+-+…+-②

①-②得，-Sn=-+-+-+…+---=---=1----

所以 Sn=2----=2--

要證明當(dāng)n≥6時(shí)，|Sn-2|=-成立，只需證明當(dāng)n≥6時(shí)，-<1成立。

(1)當(dāng)n=6時(shí)，-=-=-<1成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥6)時(shí)不等式成立，即-<1.

則當(dāng)n=k+1時(shí)， -=-×■<-<1.

由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，-<1，即當(dāng)n≥6時(shí)，|Sn-2|<-.

2

2.(08福建)如圖、橢圓-+-=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，都有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

求a的取值范圍。

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.

解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

因?yàn)椤鱉NF為正三角形，所以|OF|=-|MN|,

即1=-·■，解得b=-

a2=b2+1=4，因此，橢圓方程為-+-=1.

(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).

(ⅰ)當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)，

|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2(a2>1)，因此，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2

(ⅱ)當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，

設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，代入-+-=1，

整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0，

所以y1+y2=-，y1y2=-

因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB|2，所以∠AOB恒為鈍角。

即OA·OB=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2<0恒成立。

x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=---+1=-<0

又a2+b2m2>0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對m∈R恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2對m∈R恒成立。

當(dāng)m∈R時(shí)，a2b2m2最小值為0，所以a2-a2b2+b2<0.

a2

因?yàn)閍>0,b>0,所以a0,

解得a>-或a<-(舍去)，即a>-,

綜合(i)(ii)，a的取值范圍為(-，+∞).