高考數學一輪復習集合大小定義的基本要求(2)

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然后在上面我們每隔一厘米畫一個點，并在每個點旁邊標上1、2、3……等，這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數集合比較大小的結果應該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數軸的正半軸，上面的點就是代表自然數的那些點，所以這些點的個數應該和自然數的個數相同。而且，按照“整體大于部分”的規定，那些標有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順著上面的思路，這些點的個數也該和自然數一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數不應該取決于在它們的旁邊標記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

　　再舉一個例子。假設我給你一個大口袋，里面有無限多個小口袋，上面按照自然數標了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推。現在我當著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點，應該是少了，少一條。但是如果我當初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因為這時大口袋里的東西和原來沒有任何區別，所以小口袋的數量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標號不應該改變口袋的數量。大家明白我是打了一個比方，大口袋就是一個集合。按照上面的要求，集合的大小只應該取決于集合本身，而不應該取決于集合的表示方法或構造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應該知道里面小口袋的數量，而不用知道我是否做過手腳。

　　這樣的例子可以舉很多。我們發現，如果堅持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時，比如比較自然數和正偶數的個數時，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如說，x'=x+1這樣一個數軸上的坐標平移，會將坐標上的點集{1,2,3……｝變為{2,3,4……｝，一個坐標平移居然可以變動點集中元素的個數!“元素可以一一對應的兩個集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從：怎樣不使用一一對應的方法來比較自然數和數軸上(0,1)區間中點的個數?

　　在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個點的例子，如果我們把不是10的倍數的點去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個點集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實上，無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因為這恰好就是無限集合的特征。