高考數學：集合與常用邏輯的復習

2019-12-31 15:32:05高考網整理

　　集合

　　1.集合的含義與表示

　　（1）了解集合的含義、元素與集合的屬于關系

　　（2）能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。

　　2.集合間的基本關系

　　（1）理解集合之間包含于相等的含義，能識別給定集合的子集

　　（2）在具體的情境中，了解全集與空集的含義

　　3.集合的基本運算

　　（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集

　　（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集

　　（3）能使用韋恩圖表達集合的關系及運算

　　常用邏輯用語

　　1.命題及其關系

　　（1）理解命題的概念

　　（2）了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題、與逆否命題，會分析四種命題的相互關系

　　（3）理解必要條件、充分條件與充要條件的意義

　　2.簡單的邏輯聯結詞

　　了解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義

　　3.全稱量詞與存在量詞

　　（1）理解全稱量詞和存在量詞的含義

　　（2）能正確地對含有一個量詞的命題進行否定

　　考題分析

　　高考對集合的考查主要集中在集合的運算與集合間關系的判定與應用，常用邏輯用語考查知識面十分廣泛，可以涵蓋函數、立體幾何、不等式、向量、三角函數等內容。考查的形式多為選擇題，難度不大，但需掌握基本知識與方法。

　　集合的概念與表示

　　集合是數學中一個基本概念，是近現代數學最基本的內容之一，在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。在數學的《課標》中，要求學生掌握理解集合的概念，知道常用數集的概念及表示方法。

　　集合的概念

　　1.集合：一般地我們把一些能夠確定的不同對象的全體稱為集合（簡稱集）；

　　集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、……。

　　2.元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素，元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、……。

　　元素與集合的關系

　　1.屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

　　2.不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作 3、集合分類根據集合所

　　集合中元素的特性

　　1.確定性：給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素是確定的了。

　　任何一個元素要么屬于該集合，要么不屬于該集合，二者必具其一。

　　2.互異性：集合中的元素一定是不同的。

　　3.無序性：集合中的元素沒有固定的順序。

　　集合的分類

　　根據所含元素個數不同，可把集合分為如下幾類：

　　1.把不含任何元素的集合叫做空集Ф

　　2.含有有限個元素的集合叫做有限集

　　3.含有無窮個元素的集合叫做無限集

　　常用數集及其表示方法

　　1.非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合，記作N 。

　　2.正整數集：非負整數集內排除0的集，記作N*或N+ 。

　　3.整數集：全體整數的集合，記作Z 。

　　4.有理數集：全體有理數的集合，記作Q 。

　　5.實數集：全體實數的集合，記作R。

　　集合間的基本關系

　　集合是數學中的一個基本概念，由一個或多個確定的元素所構成的整體叫做集合，若x是集合A的元素，則記作x∈A。

　　集合與集合的關系有“包含”與“不包含”，“相等”三種：

　　1.子集概念：

　　一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，就說集合B包含A，記作A ?B（或說A包含于B）；

　　也可記為B ?A（B包含A），此時說A是B的子集；A不是B的子集，記作A ?

　　B，讀作A不包含于B。

　　2.集合相等：

　　對于集合A和B，如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就說集合A和集合B相等，記作A=B。

　　3.真子集：

　　對于集合A與B，如果A?B并且A≠B，則集合A是集合B的真子集，記作A?B（B?A），讀作A真包含于B（B真包含A）。

　　集合間基本關系

　　1.性質1：

　　（1）空集是任何集合的子集，即A；

　　（2）空集是任何非空集合的真子集；

　　（3）傳遞性：A?B，B?C?A?C；A?B，B?C?A?C

　　（4）集合相等：A?B，B?A?A=B

　　（5）含n個元素的集合A的子集有2n個，非空子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個。

　　命題

　　命題分類亞里士多德在《工具論》，特別是其中的《范疇篇》中，研究了命題的不同形式及其相互關系，根據形式的不同對命題的不同類型進行了分類。亞里士多德把命題首先分為簡單的和復合的兩類，但他對復合命題并沒有深入探討。他進而把簡單命題按質分為肯定的和否定的，按量分為全稱、特稱和不定的命題，例如，"愉快不是善"。他還提到個體命題，這相當于后來所謂的以專名為主項、以普遍概念為謂項的單稱命題。

　　亞里士多德著重討論了后人以A、E、I、O為代表的4種命題。他所舉出的例子是："每個人是白的"；"沒有人是白的"；"有人是白的"；"并非每個人是白的"。關于模態命題，他討論了必然、不可能、可能和偶然這 4個模態詞。亞里士多德所說的模態，是指事件發生的必然性、可能性等。

　　亞里士多德以后的邏輯學家，如泰奧弗拉斯多、麥加拉學派和斯多阿學派的邏輯學家，以及中世紀的邏輯學家等，又對包含有命題聯結詞"或者"、"并且"、"如果，則"等的復合命題進行了不斷的探討，從而豐富了邏輯學關于命題的學說。

　　傳統邏輯分類

　　19世紀下半葉歐洲邏輯讀本對命題的分類不盡一致。大體說來，按關系即按命題主謂項之間的關系分，有直言命題、假言命題（后件主謂項的聯系以前件為條件）和選言命題（謂項之間對主項有選擇關系）。從質的角度分，有肯定命題和否定命題。從量的角度分，有全稱命題，包括單稱命題、普遍命題（凡S是P）和特稱命題。

　　這些讀本還討論了其他一些關于數量多少的命題，如涉及"多數"、"少數"之類的命題；并認為，"多數 S是P"等值于"少數S不是P"，"少數 S是P"等值于"多數S不是P"。因此，從"所有S是P"推不出"多數S是P",也推不出"少數S是P"。這些傳統邏輯讀本在討論選言命題時，也往往論及聯言命題、分離命題（非A并且非B）等。另外，還有一類可解析命題也是常常提到的。在這類命題中，有一種叫區別命題，其形式為"只有S才是P"；還有一種叫除外命題，其形式為"除是M的S外每個S是P"。

　　命題的四種形式

　　1．對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題。

　　2．對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的否命題。

　　3．對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆否命題。

　　相互關系

　　1.四種命題的相互關系：原命題與逆命題互逆，否命題與原命題互否，原命題與逆否命題相互逆否，逆命題與否命題相互逆否，逆命題與逆否命題互否，逆否命題與否命題互逆。

　　2.四種命題的真假關系：

　　（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。

　　（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系(原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假）

　　（3）能夠判斷真假的陳述句叫做命題，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題。

　　（4）“若p，則q”形式的命題中p叫做命題的條件，q叫做命題的結論。

　　3.命題的分類：

　　①原命題：一個命題的本身稱之為原命題，如：若x>1，則f（x）=(x-1)^2單調遞增。

　　② 逆命題：將原命題的條件和結論顛倒的新命題，如：若f（x）=(x-1)^2單調遞增，則x>1。

　　③ 否命題：將原命題的條件和

　　結論全否定的新命題，但不改變條件和結論的順序，如：若x<=1，則f（x）=(x-1)^2不單調遞增。

　　④ 逆否命題：將原命題的條件和結論顛倒，然后再將條件和結論全否定的新命題，如：若f（x）=(x-1)^2不單調遞增，則x<=1。

　　4.命題的否定命題的否定是只將命題的結論否定的新命題，這與否命題不同。

　　邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”

　　或（∨）

　　1.用聯結詞“或”把p與q聯結起來稱為一個新命題，記作p∨q，讀作“p或q”。

　　2.命題p∨q的真假的判定：

　　當兩個命題p和q其中有一個是真命題時，形成的新命題p或q就是真命題。

　　當兩個命題p和q都是假命題時，形成的新命題p或q就是假命題。

　　且（∧）

　　1.用聯結詞“且”把p與q聯結起來稱為一個新命題，記作p∧q，讀作“p且q”。

　　2.命題p∧q的真假的判定：

　　當兩個命題p和q都是真命題時，形成的新命題p且q就是真命題。

　　如果兩個命題p和q其中有一個是假命題，形成的新命題p且q就是假命題。

　　非（┐）

　　1.對于一個命題p如果僅將它的結論否定，就得到一個新命題，記作┐p，讀作“非p”。

　　2.命題┐p的真假的判定：

　　在命題和他的非命題中，有一個且只有一個是真命題。