必看｜掌握這6種數(shù)學(xué)思想, 輕松搞定高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)！

2023-05-18 10:25:27網(wǎng)絡(luò)資源

　　解數(shù)學(xué)題，除了掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)之外，最好掌握點(diǎn)解題思想。要知道高考試題的解答過(guò)程中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，如果能有意識(shí)地在解題過(guò)程中加以運(yùn)用，勢(shì)必會(huì)取得很好的效用。

　　1.函數(shù)與方程思想

　　函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想。所謂函數(shù)的思想是指用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問題。

　　而所謂方程的思想是分析數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，去構(gòu)建方程或方程組，通過(guò)求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題。

　　2.數(shù)形結(jié)合思想

　　數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過(guò)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)問題的解決有舉足輕重的作用。

　　解題類型：

　�、�“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。

　�、�“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。

　　③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。

　　3.分類討論思想

　　分類討論的思想之所以重要，原因一是因?yàn)樗倪壿嬓暂^強(qiáng)，原因二是因?yàn)樗闹R(shí)點(diǎn)的涵蓋比較廣，原因三是因?yàn)樗膳囵B(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題的能力。原因四是實(shí)際問題中常常需要分類討論各種可能性。

　　解決分類討論問題的關(guān)鍵是化整為零，在局部討論降低難度。

　　常見的類型：

　　類型1：由數(shù)學(xué)概念引起的的討論，如實(shí)數(shù)、有理數(shù)、絕對(duì)值、點(diǎn)（直線、圓）與圓的位置關(guān)系等概念的分類討論；

　　類型2：由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)的問題；

　　類型3：由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應(yīng)用引起的討論；

　　類型4：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)問題引起的討論。

　　類型5：由某些字母系數(shù)對(duì)方程的影響造成的分類討論，如二次函數(shù)中字母系數(shù)對(duì)圖象的影響，二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)圖象開口方向的影響，一次項(xiàng)系數(shù)對(duì)頂點(diǎn)坐標(biāo)的影響，常數(shù)項(xiàng)對(duì)截距的影響等。

　　分類討論思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在于克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。

　　4.轉(zhuǎn)化與化歸思想

　　轉(zhuǎn)化與化歸是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想之一，是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，所以以上三種思想也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。

　　轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中前因和后果是充分的也是必要的；不等價(jià)轉(zhuǎn)化就只有一種情況，因此結(jié)論要注意檢驗(yàn)、調(diào)整和補(bǔ)充。

　　轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問題；將復(fù)雜的轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的問題；將一般的轉(zhuǎn)為特殊的問題；將實(shí)際的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)的問題等等使問題易于解決。

　　常見的轉(zhuǎn)化方法：

　�、僦苯愚D(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；

　�、趽Q元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題；

　�、蹟�(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑；

　�、艿葍r(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的；

　　⑤特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)論適合原問題；

　�、迾�(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；

　�、咦鴺�(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題也是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑。

　　5.特殊與一般思想

　　用這種思想解選擇題有時(shí)特別有效，這是因?yàn)橐粋€(gè)命題在普遍意義上成立時(shí)，在其特殊情況下也必然成立，根據(jù)這一點(diǎn)，同學(xué)們可以直接確定選擇題中的正確選項(xiàng)。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。

　　6.極限思想

　　極限思想解決問題的一般步驟為：一、對(duì)于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量；二、確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；三、構(gòu)造函數(shù)(數(shù)列)并利用極限計(jì)算法則得出結(jié)果或利用圖形的極限位置直接計(jì)算結(jié)果。