2014年北京高考數(shù)學(xué)卷解析：重點(diǎn)考查三大能力
來源：新東方在線 2014-06-08 16:23:32
舉國矚目的2014高考數(shù)學(xué)科目的考試已結(jié)束，新東方在線高考名師團(tuán)隊(duì)第一時(shí)間對2014高考數(shù)學(xué)真題進(jìn)行了點(diǎn)評，希望能對考生、家長有所幫助，也希望對2015高考考生提供借鑒。以下是北京新東方高考數(shù)學(xué)老師周帥對北京卷2014年數(shù)學(xué)真題的解析和點(diǎn)評。
2014高考北京卷文科理科數(shù)學(xué)的難度分析
每年高考語文考完之后大家關(guān)注的都是作文是什么，數(shù)學(xué)考完之后，所有同學(xué)、全社會都只關(guān)注一個(gè)問題，那就是今年數(shù)學(xué)難不難。今年數(shù)學(xué)難不難？每年碰到這樣的問題都有一個(gè)回答，難度和去年基本持平，對于2014年具體的北京高考數(shù)學(xué)的文科和理科來說難度有了哪些變化呢？有哪些需要我們關(guān)注呢？
第一，文科和去年相比難度下降。北京市高考實(shí)行新課標(biāo)以來，一直有一道題目叫做“第20題”，第20題壓軸題都特別難，往往是新定義的題目，可能跟數(shù)列有關(guān)系，可能跟集合有關(guān)系，部分時(shí)候跟函數(shù)也有關(guān)系，這道題特別難，主要是第一不認(rèn)識，第二沒時(shí)間，但在2014年北京市高考文科數(shù)學(xué)的試題中，20題消失了，這是所有文科同學(xué)都感到很開心的事情，今年文科多出了一道大題，是普通的數(shù)列計(jì)算題，出在了第15題，少了一道，20題沒有了，取而代之的是20題是導(dǎo)數(shù)的題目，很簡單。
第二，理科跟往年比難度略有增加。題目往年是有一些所謂的表面上的難度增加，舉一個(gè)例子，立體幾何比較詭異，正常情況下，正常年份，立體幾何應(yīng)該是三問，有一問垂直證明，有一問角度計(jì)算和空間探索，今年北京市的理科數(shù)學(xué)，相當(dāng)一部分同學(xué)，包括平時(shí)還不錯(cuò)的同學(xué)，處理的都不是特別好，所以這是北京市今年理科數(shù)學(xué)難度增大的一個(gè)具體的表現(xiàn)。
實(shí)際上是因?yàn)轭}目具體的表現(xiàn)形態(tài)的變化，使得難度增加了，對于同學(xué)們在具體復(fù)習(xí)考試的時(shí)候，需要注意應(yīng)該怎么辦？另外一個(gè)問題是同學(xué)們關(guān)注比較少的，但是必須跟大家強(qiáng)調(diào)的，就是需要求同存異。求同存異指的是文科和理科試卷的關(guān)系，考前沖刺復(fù)習(xí)的時(shí)候，不太需要做太多的新題目和背太多的公式，一定要看看在最近幾年的考試中，你所在省區(qū)的另外一套題目。文科生看看理科的卷子，理科生看看文科的卷子。今年延續(xù)了去年文科題目的考法，文科和理科一般不太一樣，難度上不太一樣，這種表面現(xiàn)象差異下的兩個(gè)問題，即使考的不太一樣，但是要求的基本知識點(diǎn)和基本能力是一樣的，一會兒會通過題目講這個(gè)。
表面現(xiàn)象不一樣，但是他們之間存在一種相互借鑒或者傳承的關(guān)系，今年理科是去年文科的變形，所以，這對于明年要參加高考的同學(xué)具有特別重要的指導(dǎo)意義。
出題人需要考察我們哪些方面的重要能力？這里有三點(diǎn)：
1.應(yīng)用性。這是多年以來，高考數(shù)學(xué)改革的一個(gè)重要方向，也是高考命題人在出題時(shí)候的一個(gè)重要參考方向。比如今年北京地區(qū)，特別像北京、上海，這樣一些教育資源比較豐富的地區(qū)，高考改革走的比較快的地區(qū)，往往會在這方面表現(xiàn)的更加突出一些，北京今年在文科和理科都出現(xiàn)了應(yīng)用題，不是傳統(tǒng)的應(yīng)用題，而是更多的把數(shù)學(xué)和生活實(shí)踐結(jié)合起來。比如今年爆米花與函數(shù)的問題，還有NBA總決賽主客場的問題，兩個(gè)人比成績，誰比誰好，誰不比誰差，這樣一種題目，其實(shí)不僅需要考查同學(xué)們對于數(shù)學(xué)模型的加工和計(jì)算能力，更多考察的是我們?nèi)リP(guān)注生活、了解生活和數(shù)學(xué)這樣一種關(guān)系。對于平時(shí)而言是一種重要的學(xué)習(xí)習(xí)慣，對于考試來說是一種重要的考察方式，接下來的復(fù)習(xí)過程中，同學(xué)們一定要關(guān)注，當(dāng)然已經(jīng)考過的同學(xué)，如果關(guān)注到這一些，這種題目處理起來會從容一些。
2.基本的數(shù)學(xué)能力。在部分比較難的題目當(dāng)中，比如在今年文科和理科共同的解析幾何大題，19題當(dāng)中，出現(xiàn)了一些不太正常的計(jì)算方式，平時(shí)熟悉的解析幾何題是直線跟曲線聯(lián)立，之后有一個(gè)二次方程，算判別式，代入計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)今年考的不是這樣的東西，今年考的是單動點(diǎn)。今年第15題，這個(gè)題目的數(shù)字和角度并不是我們平時(shí)熟悉的數(shù)字和角度，我們發(fā)現(xiàn)在很多時(shí)候，出題人可能在遵循這樣一個(gè)基本思路，叫考查基本的數(shù)學(xué)能力，這種能力是什么？這種能力包括你的計(jì)算能力，是你的觀察能力，是你對于圖像的識別能力，空間想象能力，真的不一定是具體題目的解法或者技巧，這是我們需要同學(xué)們在平時(shí)復(fù)習(xí)的過程中，需要去重點(diǎn)關(guān)注的問題，算數(shù)字看圖像都會。說到圖像，剛才我們提到了一個(gè)事情，今年理科的立體幾何的題目，很多同學(xué)不太會算，有一些非建系的問題，有同學(xué)看圖看不清楚，關(guān)系看不明白，因?yàn)槠綍r(shí)疏于練習(xí)，對于圖形不清楚，做起來相對來說難受一些，考前沖刺的時(shí)候，你甚至可以不關(guān)注一道幾何題目以及具體解法，但是我們一定要了解這個(gè)圖像，以及圖像里面的關(guān)系，出題人如何要求你去看這個(gè)圖像，了解圖像。如果你的基礎(chǔ)足夠好，題目怎么變，對于你來說影響不大，如果基礎(chǔ)不扎實(shí)，只是學(xué)了一些解題方法和技巧，題目一旦發(fā)生變化，處理起來就會出現(xiàn)問題，可能部分同學(xué)今年可能考的不是特別好，沒有關(guān)系。碰到一些新問題，處理的不那么好，基本功沒有那么扎實(shí)，沒關(guān)系，接下來帶大家練基本功。
3.反題型練習(xí)。多年來我們研究考試的人，我們做題目的人和出題目的人一直存在一個(gè)駁論，這個(gè)駁論叫做題型教學(xué)和反題型練習(xí)，有一些固定的題型，學(xué)會這個(gè)方法解決這種題型，從而拿到考試分?jǐn)?shù)，于是我們會給學(xué)生，包括學(xué)生自己去做一些考試的預(yù)測，我們覺得今年會考哪幾個(gè)題目，這幾個(gè)題目你要好好做做，但是后來我們發(fā)現(xiàn)，往往在部分情況下，我們能夠預(yù)測的比較準(zhǔn)，因?yàn)榭赡芙衲陝偤幂喌娇歼@樣的考法，但在有些題目中，出題人往往會做一些創(chuàng)新的工作，這種創(chuàng)新正是基于平時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的漏洞，叫做只會解題方法，而忽略了對于數(shù)學(xué)思想的研究，忽略了對于基本功的重視。今年考前我們也給學(xué)生做過預(yù)測，我們預(yù)測會考哪些題目，很明確地說，有一些壓中了，因?yàn)閿?shù)學(xué)題目相對來說還是比較好壓中的，確實(shí)有一些固定的套路，也有一些題我們沒有壓中，出題人可能在題目上做了一些變化，這種變化不僅僅是固定的題型和方法，而是基于基本功的考查，基于命題規(guī)律和趨勢的這種對于題目的研究，這也是很多同學(xué)在接下來復(fù)習(xí)過程中，可能會欠缺，但一定要注意的問題。
哪些題目是可能有一些固定的對應(yīng)的解決方案的？
之前有一些解法必須要會，是基礎(chǔ)知識，是基本功，哪些題目有一些調(diào)整和變化，復(fù)習(xí)的時(shí)候需要去關(guān)注，我們結(jié)合具體的題型來看看。
1、北京市文科數(shù)學(xué)填空題第13題
這道題線性規(guī)劃，線性規(guī)劃每年必考，不過有些題目考的相對難一些，這個(gè)題目還好，給出的是一個(gè)確立的不等式組，還有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，做的工作有三步，第一步把平面區(qū)域畫出來，可行域，第二步把目標(biāo)函數(shù)變成我們熟悉的形式，直線上下平移發(fā)生變化，但很多同學(xué)的問題并不是不會，在大家都會的情況下，這道題你有沒有可能做的更快更好一些。如果我們知道有一些題目是基本上確定會考的，考法穩(wěn)定，考點(diǎn)清楚，每年的變化比較少，我們需要做的事情就是提高效率，題目中的這句話“最值一般在交點(diǎn)或者邊界處取得”。什么意思？意思是這個(gè)題目也許以后對于我們來說，就不一定真的需要每道題都畫圖平移，而是只需要根據(jù)題目的不等式組對應(yīng)的方程組，解出三個(gè)交點(diǎn)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，比大小，誰大誰小一目了然，這樣就能解得更快一些。如果題目確實(shí)你會，你能不能變的更好。
2、北京市理科數(shù)學(xué)第14題
今年的第14題考的是函數(shù)。函數(shù)性質(zhì)最重要的考法是單調(diào)性、對稱性結(jié)合，只不過這個(gè)題目加上了一個(gè)東西叫做周期性。這個(gè)題目怎么做？大家看的兩個(gè)等號，這兩個(gè)等號其實(shí)告訴我們的是對稱性，我們知道，如果縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)相加除以2就是對稱軸，我們知道如果縱坐標(biāo)相反，那么橫坐標(biāo)相加除以2就是對稱中心的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)是0。所以這個(gè)題目其實(shí)是用等號告訴我們，這個(gè)函數(shù)具有兩種對稱性，一個(gè)是軸對稱，一個(gè)是中心對稱，而如果大家再能聯(lián)想到我們平時(shí)學(xué)過的基礎(chǔ)知識，基本初等函數(shù)，三角函數(shù)，y等于sinx，或者y等于cosx，它們的對稱和周期的關(guān)系的話，有一個(gè)東西我們在第一輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)講過，考前又說過一次，如果一個(gè)函數(shù)有兩條對稱軸，那么相鄰兩條對稱軸的距離就是二分之一周期，如果一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)對稱中心，相鄰兩個(gè)對稱中心的距離就是二分之一周期，有對稱軸，有對稱中心，那么距離最近的對稱軸和對稱中心之間的距離就是周期的1/4，只不過那個(gè)題目是叫sinx，而這個(gè)題目是是sinx發(fā)生變化之后的一個(gè)圖形，不過依然滿足類似的性質(zhì)，并且題目專門為了讓我們確定這個(gè)結(jié)果，告訴了我們一個(gè)單調(diào)性，要做的工作就是畫圖。
這個(gè)題目在文科里面也有考，告訴一個(gè)函數(shù)圖像，讓我們求相應(yīng)的值，這個(gè)題目沒有給圖像，但是我們可以類比去畫一個(gè)大致的圖像，去看出可能的周期。大家看到下面的一行字，叫三角函數(shù)的一般性質(zhì)特殊化，其實(shí)高中數(shù)學(xué)很大程度上考一個(gè)東西，請大家記住我說的這句話：叫做利用特殊情況，研究一般性質(zhì)，這是我們的研究方法。而在考試?yán)锩婢唧w題目的形態(tài)，就是給出一個(gè)特殊的具體的函數(shù)讓你去研究它的一般性質(zhì)，所以它是一個(gè)，從我們學(xué)過的sinx—具體，到一般的，然后再到更加具體的，了解了這個(gè)過程，你就知道出題人是怎么想的，從另外意義上就是我們所說的重要考點(diǎn)，單調(diào)性和對稱性結(jié)合的這樣一種考法，這就是考試的穩(wěn)定性，但是形式上會有一些變化。
3、北京市理科數(shù)學(xué)第15題
北京市高考數(shù)學(xué)從2010年以來，基本上在15題里面考的是三角函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)，求周期，求最值和單調(diào)區(qū)間，只有在2013年理科數(shù)學(xué)的15題考了一道解三角形的題目，我們預(yù)測這個(gè)趨勢可能會延續(xù)，果不其然，在今年理科數(shù)學(xué)15題依然考的解三角形，這是第一個(gè)。在考前我們做過第二個(gè)預(yù)測，解三角形的普通考法，三角形ABC，邊a，b，c，沒什么可算的，同學(xué)們記得一個(gè)口訣，叫兩角用正弦，單角用余弦，如果題目只有一個(gè)角，用這個(gè)角的正弦寫面積公式，余弦寫邊長關(guān)系。但是這個(gè)題目出現(xiàn)了變化，當(dāng)時(shí)跟同學(xué)們說，三角形ABC依然存在，但一定會出現(xiàn)一些新的點(diǎn)和線，當(dāng)時(shí)我跟大家說的是出現(xiàn)角平分線、出現(xiàn)中點(diǎn)，很遺憾這點(diǎn)我沒有預(yù)測得特別準(zhǔn)確，這里要跟同學(xué)們道個(gè)歉，但是D點(diǎn)還是出現(xiàn)了，并且它給的不是角平分線和中點(diǎn)，而是更加的邊長和角度，因此我們要做的事件只有一件，在三角形ABC，ABD，ACD中分別使用正弦和余弦定理，新的D點(diǎn)以后，圖中一定有兩個(gè)角互補(bǔ)，兩個(gè)角互補(bǔ)，正弦相等，余弦互為相反數(shù)，分別使用正弦和余弦定理，一定可以求出來，這是一定會考的基本功，你必須要了解。
第二點(diǎn)是我們在所有三角函數(shù)也好，解三角形也罷，跟大家強(qiáng)調(diào)過一個(gè)重要問題，叫做多值性，而多值性依然延續(xù)了去年的考法，同學(xué)們做過2013年北京高考理科數(shù)學(xué)15題，求邊長的題目，算出了兩個(gè)數(shù)字，舍去了一個(gè)，今年的題目依然利用余弦求邊長，出現(xiàn)不同結(jié)果，最后需要檢驗(yàn)和判斷，這個(gè)題目為什么有些同學(xué)今年做的時(shí)候感覺不是那么好，考試結(jié)束后跟我說，老師今年三角題目你壓中了，但是數(shù)字不是特別好算，因?yàn)槠綍r(shí)我們已經(jīng)習(xí)慣一些30度、60度90度這樣的特殊角，今年出現(xiàn)了1/7這樣的數(shù)字，有同學(xué)就不愿意算了，因此平時(shí)要多練一些基本功。考試是穩(wěn)定的，固定考點(diǎn)就那么多，考法要調(diào)整，你需要適應(yīng)這種考法，怎么適應(yīng)？要多練練基本功，平時(shí)關(guān)注，考試就不著急。
4、北京市理科數(shù)學(xué)第18、19題
這些題目可能難一些，對于大部分同學(xué)來說都是如此，正常情況下，除了像今年理科的20題，可能對于大部分同學(xué)來說稍微難一些的題目，18、19題，函數(shù)和解析幾何，這個(gè)題目最開始提到的是文科數(shù)學(xué)和理科數(shù)學(xué)的求同存異的關(guān)系。在2013年北京市的文科數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)大題里出現(xiàn)一個(gè)三角函數(shù)，今年在理科數(shù)學(xué)果然也出現(xiàn)了三角函數(shù)，為什么考三角函數(shù)，第一因?yàn)樗苤匾诙驗(yàn)樗霈F(xiàn)了一些變化，這種變化對于所有同學(xué)來說，都是一樣的，但有些同學(xué)考前如果準(zhǔn)備了一下，處理就會更從容一些，有些同學(xué)會在考試的時(shí)候搞的措手不及，三角函數(shù)判斷正負(fù)和求值，之間沒有什么區(qū)別，類型是一回事，所以這道題目對于我們來說，其實(shí)你發(fā)現(xiàn)某種意義上講，他并不是我們熟悉的常規(guī)的倒數(shù)大題，這就是變化更多的一些地方，這種題目有沒有穩(wěn)定性，不再像以前題目的那樣，給出一個(gè)函數(shù)解題式，決定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，這個(gè)題目形式上變成了三角函數(shù)，第二他甚至連參數(shù)都沒有看見，這是我要跟同學(xué)們強(qiáng)調(diào)的另外一個(gè)東西。多年來我們學(xué)函數(shù)倒數(shù)幾乎只學(xué)一個(gè)東西，叫做討論，求倒，另外畫一個(gè)圖像，列一個(gè)表，然后當(dāng)當(dāng)，討論A在不同的情況下，函數(shù)有不同的單調(diào)性，是不是？是，但是不是一定是？不一定，函數(shù)倒數(shù)里面最重要的東西，其實(shí)是倒函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系，F(xiàn)X到變會到FX1，需要知道他們的對應(yīng)關(guān)系，在2013年北京市高考文科和理科數(shù)學(xué)里面，盡管考的不一樣，倒數(shù)大題都有一個(gè)重要特征，這個(gè)都沒有，這個(gè)趨勢在今年再一次得到了延續(xù)，我們在考研[微博]說的今年可能還是不怎么考參數(shù)，考一些沒有參數(shù)，但是需要會算的題目。求證FX小于等于0，在不等號的關(guān)系，一般表現(xiàn)為最值問題，沒有參數(shù)有定義的最值問題，看似有參數(shù)A和B，還是除以X，這個(gè)意義上我發(fā)現(xiàn)大家需要了解另外一個(gè)東西。
接下來在你們的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，依然非常重要。函數(shù)倒數(shù)的討論是基本功，難一些的題目，變化一些的題目，就不再是考討論這樣一個(gè)技能，而是考察你對于倒數(shù)工具的深刻理解，倒數(shù)是干嘛用的？求完之后應(yīng)該干什么？不是討論，而是要體現(xiàn)一種轉(zhuǎn)化關(guān)系，這里體現(xiàn)的是劃歸的東西，說白了其實(shí)考察的是我們對于不同類型的基本不等函數(shù)，你在學(xué)的時(shí)候，也許就需要注意這樣一個(gè)變化，如果有可能，接下來很多題目還會這樣考，你是不是應(yīng)該重視。從這個(gè)題目開始，綜合的時(shí)候，出題人更愿意去做一些變化，這個(gè)變化是接下來我們需要重點(diǎn)關(guān)注的。
另外一件事情，很有意思，我們還是回到最開始，文科和理科他們求同存異的關(guān)系，今年文科和理科很多地方有明顯的差異，但是他們再次使用了相同的背景，解析幾何大題比較難，對于很多同學(xué)來說不一定處理的特別好，但我們一起看看，這個(gè)東西對我們來說有哪些變化和哪些穩(wěn)定性是我們可以把握的，如果我們考前預(yù)測，沒有特別復(fù)雜的橢圓的變形，第一問起點(diǎn)低，所有同學(xué)都能會，但第二個(gè)處理的不是特別好，是因?yàn)槭裁矗渴且驗(yàn)橥瑢W(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了在相當(dāng)一部分情況下，準(zhǔn)確地說大部分同學(xué)心中在90%左右的情況下，我們處理的事情是題目里面會有一條直線，這條直線和橢圓方程連立，寫一個(gè)二次方程，寫判別式等等去進(jìn)行表示，一定會做一些調(diào)整，這個(gè)調(diào)整在2010年進(jìn)行過一次，考前專門帶領(lǐng)同學(xué)們做過一件事情，就是看考試說明，接下來的考試中這一點(diǎn)依然很重要，2014年北京考試說明的數(shù)學(xué)樣題里面，解析幾何就是2010年，里面有一個(gè)重要的特征，這個(gè)重要的特征就是考的單洞點(diǎn)，點(diǎn)B在直線外點(diǎn)2上，這個(gè)相對比較簡單和好寫。文科考的是AB線的長短，理科考的是判斷位置關(guān)系，很多同學(xué)覺得看到這種題目不知道怎么做，同學(xué)們看到下面一行字，解析幾何的本質(zhì)是坐標(biāo)表示與計(jì)算，大家要記住這句話，什么意思？意思是很多時(shí)候看一個(gè)題目，特別是這個(gè)題目比較復(fù)雜的情況下，真的不一定能夠完全看懂，不一定一下子想出解題辦法，解析幾何這個(gè)題目，能解出算出一些東西，解析幾何我們做的事情，有兩步，一步叫翻譯，一步叫計(jì)算，翻譯是把題目所有的漢字寫成字母，根據(jù)方程和不等式去進(jìn)行求解，去求函數(shù)的定義和直義。有點(diǎn)寫坐標(biāo)，也線列方程，有關(guān)系就寫式子，你看這個(gè)題目你應(yīng)該這樣想，完全沒有必要找方法，有點(diǎn)寫坐標(biāo)，O00，A點(diǎn)坐標(biāo)，什么叫做在橢圓C上，就是這個(gè)公示，這是我們之間講過的四個(gè)字叫做肖圓直線，直線OA和OB，等于零，于是我們又得到了一個(gè)關(guān)系，高考題還可以已成這個(gè)樣子，以AB為直徑，直徑所謂的圓周角是直角，題目可以千變?nèi)f化，但萬變不離其中，至于這個(gè)題目求長度，求最值，變成一個(gè)函數(shù)，理科題目判斷直線和關(guān)系，判斷原心到直線的距離。解析幾何印證了前面的東西，考察的不是解題方法和模型，題目會有變化，但在變化之中的穩(wěn)定性，是我們必須要掌握一些基本技能，基本技能往往是數(shù)學(xué)思想，往往是出題人需要我們了解的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。這就是結(jié)合這樣一些題目，來給大家講的穩(wěn)定與變化，有一些題目是基本穩(wěn)定的，你要掌握的特別好，你要學(xué)會做的更快，有一些題目是穩(wěn)中有變，你需要知道怎么變，有些題目看起來不太一樣，很奇怪，很不熟悉，但是他的內(nèi)核也是穩(wěn)定的，如何把這些技能錘煉的更好一些。
2014高考北京卷數(shù)學(xué)的真題點(diǎn)評到此結(jié)束，希望廣大考生關(guān)注新東方在線高考名師團(tuán)隊(duì)其他科目的解析和點(diǎn)評。
最后，新東方在線祝愿廣大2014高考考生取得優(yōu)異成績，金榜題名。并祝2015高考考生備考順利。
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