高中數(shù)學必修一函數(shù)基本特征知識點總結(jié)

　　1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當x1< x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

　　⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路

　　ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。

　　ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾�負的形式�?/span>

　　ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。

　　⑵復合函數(shù)的單調(diào)性

　　復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”；多個函數(shù)的復合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。

　　⑶注意事項

　　函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。

　　2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性

　　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù)；

　　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。

　　⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)

　　ⅰ無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱。

　　ⅱ奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。

　　⑵函數(shù)奇偶性判斷思路

　　ⅰ先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)。

　　ⅱ確定f(x) 和f(-x)的關(guān)系：

　　若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù)；

　　若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。

　　3、函數(shù)的最值問題

　　⑴對于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。

　　⑵對于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。

　　⑶關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題

　　ⅰ判斷二次函數(shù)的頂點是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接ⅱ，若不在區(qū)間內(nèi)，則接ⅲ。

　　ⅱ 若二次函數(shù)的頂點在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值；后判斷區(qū)間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數(shù)值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。

　　ⅲ 若二次函數(shù)的頂點不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性

　　若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；

　　若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。

　　注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a，b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為：

　　a>1時，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時，最小值f(b)，最大值f(a)。

　　⑵ 對于任意指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

　　3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。

　　⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(1，1)。

　　⑵a>0時，冪函數(shù)圖像過原點，且在(0，+∞)區(qū)間為增函數(shù)，a越大，圖像坡度越大。

　　⑶a<0時，冪函數(shù)在(0，+∞)區(qū)間為減函數(shù)。

　　當x從右側(cè)無限接近原點時，圖像無限接近y軸正半軸；

　　當y無限接近正無窮時，圖像無限接近x軸正半軸。

　　冪函數(shù)總圖見下頁。

　　4、反函數(shù)：將原函數(shù)y=f(x)的x和y互換即得其反函數(shù)x=f-1(y)。

　　反函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱。