復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式
2019-01-15 20:29:12高三網(wǎng)
復(fù)合函數(shù)怎么求導(dǎo)
總的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如說(shuō)：求ln(x+2)的導(dǎo)函數(shù)
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此時(shí)將(x+2)看成一個(gè)整體的未知數(shù)x'】 ×1【注：1即為（x+2)的導(dǎo)數(shù)】
主要方法：先對(duì)該函數(shù)進(jìn)行分解，分解成簡(jiǎn)單函數(shù)，然后對(duì)各個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)求導(dǎo)，最后將求導(dǎo)后的結(jié)果相乘，并將中間變量還原為對(duì)應(yīng)的自變量。
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復(fù)合函數(shù)證明方法
先證明個(gè)引理
f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)，存在一個(gè)在點(diǎn)x0連續(xù)的函數(shù)H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)
證明：設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
所以H(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之，設(shè)存在H(x),x∈U(x0),它在點(diǎn)x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)
所以f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且f'(x0)=H(x0)
引理證畢。
設(shè)u=φ(x)在點(diǎn)u0可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)u0=φ(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)F(x)=f(φ(x))在x0可導(dǎo)，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：由f(u)在u0可導(dǎo)，由引理必要性，存在一個(gè)在點(diǎn)u0連續(xù)的函數(shù)H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導(dǎo)，同理存在一個(gè)在點(diǎn)x0連續(xù)函數(shù)G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
因?yàn)?phi;，G在x0連續(xù)，H在u0=φ(x0)連續(xù)，因此H(φ(x))G(x)在x0連續(xù)，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導(dǎo)，且
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證法二：y=f(u)在點(diǎn)u可導(dǎo)，u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
證明：因?yàn)閥=f(u)在u可導(dǎo)，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
當(dāng)Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但當(dāng)Δu=0時(shí)，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因?yàn)?Delta;x≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x處連續(xù)(因?yàn)樗蓪?dǎo)),故當(dāng)Δx->0時(shí)，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
則lim(Δx->0)α=0
最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
