高中數學必修四知識點·不等式的解法平面向量立體幾何

　　不等式的解法：

　　（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數小于零的，同解變形為二次項系數大于零；注：要對 進行討論：

　　（2）絕對值不等式：若 ，則 ； ；

　　注意：

　　(1）解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：

　　⑴對絕對值內的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值；

　　(2).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。

　　(3）.含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區間討論”的方法來解。

　　（4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；

　　（5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上，取它們的公共部分。

　　（6）解含有參數的不等式：

　　解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：

　　①不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.

　　②在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論.

　　③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為 （或更多）但含參數，要討論。

　　平面向量

　　1．基本概念：

　　向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

　　2． 加法與減法的代數運算：

　　(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）則a b=（x1+x2,y1+y2 ）．

　　向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

　　向量加法有如下規律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）;

　　3．實數與向量的積：實數 與向量 的積是一個向量。

　　(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;

　　(2) 當 a＞0時， 與a的方向相同；當a＜0時， 與a的方向相反；當 a=0時，a=0．

　　兩個向量共線的充要條件：

　　(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數 ，使得b= ．

　　(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．

　　平面向量基本定理：

　　若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， ，使得 = e1+ e2．

　　4．P分有向線段 所成的比：

　　設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。

　　當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；

　　分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ．

　　5． 向量的數量積：

　　（1）．向量的夾角：

　　已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。

　　（2）．兩個向量的數量積：

　　已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

　　其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．

　　（3）．向量的數量積的性質：

　　若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量);

　　⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;

　　cos = = ．

　　(4) ．向量的數量積的運算律：

　　·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．

　　6.主要思想與方法：

　　本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。

　　立體幾何

　　1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

　　能夠用斜二測法作圖。

　　2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；

　　會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。

　　3.直線與平面

　　①位置關系：平行、直線在平面內、直線與平面相交。

　　②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據。

　　③直線與平面垂直的證明方法有哪些？

　　④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內的射影，范圍是

　　⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.

　　4.平面與平面

　　(1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）

　　(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。

　　(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據性質定理，可以證明線面垂直。

　　(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→

　　(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

　　①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；

　　②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。

　　③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法。