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          高考數學二輪復習冪函數專題總結

          2018-12-31 17:15:31三好網

            定義:

            形如y=x^a(a為常數)的函數,即以底數為自變量冪為因變量,指數為常量的函數稱為冪函數。

            定義域和值域:

            當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數,則函數的定義域為大于0的所有實數;如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小于0,這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時,冪函數的值域的不同情況如下:在x大于0時,函數的值域總是大于0的實數。在x小于0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。而只有a為正數,0才進入函數的值域

            性質:

            對于a的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

            首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那么我們就可以知道:

            排除了為0與負數兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數;

            排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;

            排除了為負數這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數,a就不能是負數。

            總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:

            如果a為任意實數,則函數的定義域為大于0的所有實數;

            如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小于0,這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等于0的所有實數。

            在x大于0時,函數的值域總是大于0的實數。

            在x小于0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。

            而只有a為正數,0才進入函數的值域。

            由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

            可以看到:

            (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

            (2)當a大于0時,冪函數為單調遞增的,而a小于0時,冪函數為單調遞減函數。

            (3)當a大于1時,冪函數圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函數圖形上凸。

            (4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

            (5)a大于0,函數過(0,0);a小于0,函數不過(0,0)點。

            (6)顯然冪函數無界。

            1.冪函數解析式的右端是個冪的形式。冪的底數是自變量,指數是常數,可以為任何實數;與指數函數的形式正好相反。

            2冪函數的圖像和性質比較復雜,高考只要求掌握指數為1、2、3、-1、?時冪函數的圖像和性質。

            3了解其它冪函數的圖像和性質,主要有:

            ①當自變量為正數時,冪函數的圖像都在第一象限。指數為負數的冪函數都是過點(1,1)的減函數,以坐標軸為漸近線,指數越小越靠近

            x軸。指數為正數的冪函數都是過原點和(1,1)的增函數;在x=1的右側指數越大越遠離x軸。

            ②冪函數的定義域可以根據冪的意義去求出:要么是x≥0,要么是關于原點對稱。前者只在第一象限有圖像;后者一定具有奇偶性,利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。

            ③定義域關于原點對稱的冪函數一定具有奇偶性。當指數是偶數或分子是偶數的分數時是偶函數;否則是奇函數。

            4冪函數奇偶性的一般規律:

            ⑴指數是偶數的冪函數是偶函數。

            ⑵指數是奇數的冪函數是奇函數。

            ⑶指數是分母為偶數的分數時,定義域x>0或x≥0,沒有奇偶性。

            ⑷指數是分子為偶數的分數時,冪函數是偶函數。

            ⑸指數是分子分母為奇數的分數時,冪函數是奇數函數。

          [標簽:復習方法 高考指導]

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