幾道趣味算術題的分析

　　小學生學珠算時最常做的是自然數累加、三盤清、九盤清這三種基本練習。

　　其中自然數累加就是1+2+3+4+……+97+98+99+100，它的計算結果可用大家熟悉的等差數列求和公式（首項+尾項）×項數÷2來計算。從1加到100是5050，從中取任一段數的和都可用此公式算出來。

　　三盤清也叫見珠打珠，就是在算盤上先撥上123456789，然后從左向右每一檔看見原來是什么數就加上什么數，加第一遍后再從左向右加第二遍、第三遍，這樣加的結果是987654312，要是再在末尾加上9就成了987654321。

　　九盤清是在算盤上先撥123456789，然后一遍又一遍的加123456789，連加九遍后得出結果是1234567890。

　　本人從小腦子很靈但手指很笨，最怕上珠算課，上課時老師要我們練習累加，全班同學陸陸續續完成從1加到100后把手舉了起來，可我一個人還在56、57、58、……笨拙地撥拉著算盤珠子，實在不好意思就偷偷的撥上5050后把手舉起。后來老師發現部分同學作弊就每天變化，今天要求從1加到73、明天要求從1加到84、……，讓大家不能預知最終計算結果。但這也難不到未到十歲的我，我通過自己的分析總結出用（第一個數+最后一個數）×數字個數÷2這個方法偷偷在紙上筆算出答案再撥到算盤上應付老師。上初中后學到數列才知道德國偉大的數學家高斯在十歲時也是用這種方法來計算從1加到100的，我為自己小時候有著與著名數學家一樣的思維方法而感到非常自豪。

　　對于三盤清和九盤清計算結果出現有規律的數字，我小時候也偷偷的作過分析研究，總結出為什么有規律的原因。

　　三盤清是見到什么數加什么數，實際上就是把原來的數乘以二，連續三次乘以二也就是乘以八，而123456789×8=123456789×（10-1-1）=1234567890-123456789-123456789，這樣從減法計算的豎式里可看出第一次減時被減數除個位數是0外，其它各位都是比減數大1，如果把三盤清計算后末尾加的9先加在被減數上，那么第一次減下來個位數是0，其它各位數全是1，第二次減就成了1111111110-123456789，這道減法的計算豎式里就有一個有趣的規律：個位數在減時被減數是0必須向十位借1變成10，而十位數在減時由于1被借走也是0就必須向百位數借1變成10，同樣百位數向千位數借，千位數向萬位數借……計算的時候從個位開始都是本位被減數是0，向上一位借1變成10，每一位都是10減去減數，對減數是123456789這樣依次遞增的數，最后的計算結果當然是987654321這樣依次遞減的數了。

　　九盤清的分析就相對要簡單得多，一個數連續加上九次實際上就是十個這個數的和，那么十個123456789的和當然是1234567890了。

　　上世紀八十年代社會上流傳著我國臺灣省一位小學生在玩電子計算器時無意中發現的有趣現象：在計算器里打上12345679八位數再乘以9就會得出111111111這樣九個1，要是乘以3就會得出037037037，乘以6就會得出174174174，……乘以18就會得出222222222……只要在81以內，乘以3的倍數就會出現三位數一個循環的現象，乘以9的倍數就會出現連續九個一樣的數而且乘數是9的幾倍就是連續的九個幾。一時全世界很多人都拿計算器去試這個規律，但都是只知其然，不知其所以然。那時寧波有位好奇的記者請寧波一中當時的校長、全國著名的中學數學特級教師陳守禮老師在《寧波日報》上寫文章分析這一有趣現象產生的原因，但陳老師的分析很復雜，大家都難以看懂。我看了后馬上用小時候分析三盤清的方法一分析，發現這個計算器現象其實比三盤清的分析還要簡單。我就把自己的分析寄給陳老師，可他大概沒收到也就沒給回音。現在我把這個分析寫出來與廣大數學愛好者分享。12345679×9=12345679×（10-1）=123456790-12345679，從這個減法計算的豎式里可看出：前面幾位全都是被減數比減數大一，沒有8十位數9比7大二，但個位數是0不夠減向十位數借1，所以十位數也變成了被減數比減數大一，個位被減數借到1后變成10也比減數大一，所以乘以9的結果出現了111111111這樣連續九個1的現象，乘以9結果每位數都是1，再乘以幾倍（只要在九倍以內）當然是每位數都是幾了。現在再來分析乘以3后出現的現象，12345679×3=12345679×9÷3=111111111÷3，從能被3整除的數的規律中可看到連續三位數上的三個1加起來等于3能被3整除，就可把連續九個1分成三個1一段，這樣每一段中的111都能被3整除，結果就成了三位數一個循環的現象，當乘數是81時，這三位循環數是999達最大，再大就要進上第四位改變了上一個循環的數值，所以只要乘數在81以內，12345679乘以3的倍數結果就成三位數一循環的三個循環，乘以9的倍數就成了九個一樣的數。