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          高二數學必修:單元知識總結 三、曲線和方程

          來源:網絡資源 2009-10-10 22:40:57

          [標簽:高二 數學]

            三、曲線和方程

            1.定義

          在選定的直角坐標系下,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(xy)=0的實數解建立了如下關系:

          (1)曲線C上的點的坐標都是方程f(xy)=0的解(一點不雜)

          (2)以方程f(xy)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點(一點不漏)

          這時稱方程f(xy)=0為曲線C的方程;曲線C為方程f(xy)=0的曲線(圖形)

          P={具有某種性質(或適合某種條件)的點}Q={(xy)|f(xy)=0},若設點M的坐標為(x0y0),則用集合的觀點,上述定義中的兩條可以表述為:

          以上兩條還可以轉化為它們的等價命題(逆否命題)

           

          為曲線C的方程;曲線C為方程f(xy)=0的曲線(圖形)

            2.曲線方程的兩個基本問題

          (1)由曲線(圖形)求方程的步驟:

          ①建系,設點:建立適當的坐標系,用變數對(xy)表示曲線上任意一點M的坐標;

          ②立式:寫出適合條件p的點M的集合p={M|p(M)}

          ③代換:用坐標表示條件p(M),列出方程f(xy)=0

          ④化簡:化方程f(xy)=0為最簡形式;

          ⑤證明:以方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

          上述方法簡稱“五步法”,在步驟④中若化簡過程是同解變形過程;或最簡方程的解集與原始方程的解集相同,則步驟⑤可省略不寫,因為此時所求得的最簡方程就是所求曲線的方程.

          (2)由方程畫曲線(圖形)的步驟:

          ①討論曲線的對稱性(關于x軸、y軸和原點)

          ②求截距:

           

          ③討論曲線的范圍;

          ④列表、描點、畫線.

            3.交點

          求兩曲線的交點,就是解這兩條曲線方程組成的方程組.

            4.曲線系方程

          過兩曲線f1(xy)=0f2(xy)=0的交點的曲線系方程是f1(xy)+λf2(xy)=0(λ∈R)

           

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