2019年高考數學總復習專練：導數的極值最值

       高考數學總復習：導數的極值、最 值

　　考點一.求函數的極值

　　1.求函數的極值：（1） ；  （2） ；  （3） ； （4） ；

　　解：（1） ；

　　（2） ，則f(-1)極小=-3；f(1)極大=-1.

　　（3）定義域：x>0,則 ， ；

　　（4） ， ；

　　（5）若 在x=1處取得極值-2，求a,b的值。

　　解： 。

　　（6）若 ，當x=-1時取極大值7，x=3取極小值，求極小值。

　　解： 。

　　（7）若 （a<0）,求f(x）取極小值時，x的值.

　　解： ，

　　（1）當 ， ， 。

　　（2）當 。

　　（3）當 ，

　　考點二。求函數最值

　　（1） ；

　　，

　　(2)求f(x)＝ 的最值；

　　解： ， 。

　　(3)已知函數f(x)＝ ，若f′(－1)＝0，求y＝f(x)在－32，1上的最值．

　　解：∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3x＋13(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－13；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－13.因此，函數f(x)的單調遞增區間為－32，－1，－13，1，單調遞減區間為－1，－13.∴f(x)在x＝－1處取得極大值為f(－1)＝2；f(x)在x＝－13處取得極小 值為f－13＝5027.又∵f－32＝138，f(1)＝6，且5027＞138，∴f(x)在－32，1上的最大值為f(1)＝6，最小值為f－32＝138.

　　(4)已知f(x)=xlnx，求f(x)在 上的最小值。

　　解： =0，則x= .分情況討論：

　　（1）  t, >0,f（x)單調遞增，則f（x)min=f(t)=tlnt.

　　（2）t< <t+2,在 上， <0，在 上， >0,則f（x)min=f( )= ln =- .

　　（3）  t+2, <0,f（x)單調遞減，則f（x)min=f(t+2)=（t+2）ln（t+2).

　　（5）已知f(x)= ，在 上的最小值為4，求a的值。

　　解： =0，則x=a或x=1:

　　當a《1時，f(x)在 上單調遞增，f(x)min=f(1)=3a-1=4,故 （舍）

　　當a》3時，f(x)在 上單調遞減，f(x)min=f(3)=27-9a=4，故 （舍）

　　當1<a<3時，f(x)在 上單調遞減，f(x)在 上單調遞增，f(x)min=f(a)=4,故a=2或a=-1(舍）。

　　（6）求 在 上的最小值。

　　解： =0，則x=ln2a.

　　當2a《0時， ；

　　當2a>0時，當ln2a《0，即 ，f(x)在 單調遞增，f(x)min=f(o)=b;

　　當ln2a》1,即a》 ，f(x)在 單調遞減，f(x)min=f(1)=e-2a-b;

　　當0<ln2a<1,即 ，f(x)在（0，ln2a)單調遞減，

　　在（ln2a, )單調遞增，則f(x)min=f(ln2a)=2a-2aln2a-b;

　　(7)已知函數f(x)＝(a ＋bx＋c) 在[0,1]上單調遞減,且滿足f(0)＝1，f(1)＝0，設g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．

　　解：　因為g(x)＝(－2ax＋1＋a) ，所以g′(x)＝(－2ax＋1－a) .

　　(i)當a＝0時，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.

　　(ii)當a 0時，若  0時，即0<a《1,g′(x)>0,g(x)單調遞增，g(x)max=g(1)=(1-a) ;g(x)min=g(0)=1+a;

　　若0< <1時，即1>a> ,在 上，g′(x)<0，在 上，g′(x)>0，

　　則g（x)min=f( )= ；g(x)max=g(x)min=g(1)=(1-a) ;

　　若  1時 即0<a《 ,g′(x)<0,g(x)單調遞減，g(x)min=g(1)=(1-a) ;g(x)max=g(0)=1+a;

　　考點三.實際應用

　　（1）用總長148 m的鋼條制作一個長方體容器的框架如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長05 m，那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積

　　解：設容器底面短邊長為x m，則另一邊長為（x+05） m，高為 =32－2x（m）

　　設容積為y m3，則y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16），整理，得y=－2x3+22x2+16x

　　所以y′=－6x2+44x+16令y′=0，即－6x2+44x+16=0，所以15x2－11x－4=0

　　解得x=1或x=－ （不合題意，舍去）從而在定義域（0，1.6）內只有x=1處使得y′=0

　　由題意，若x過小（接近0）或過大（接近1.6）時，y值很小（接近0）

　　因此，當x=1時，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，此時，高為32－2×1=1.2

　　答：容器的高為1.2 m時，容積最大，最大容積為1.8 m3