相等向量是共線向量嗎?
來源：網絡整理 2020-09-06 13:40:17
兩個概念不一樣，長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量(這個不管你長度會不會相等).表示為a∥b，任意一組平行向量都可移到同一直線上， 因此平行向量也叫共線向量。
1共線向量基本定理
如果a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得b=λa。
證明：
1）充分性：對于向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那么由實數與向量的積的定義知，向量a與b共線。
2）必要性：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b=λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。
3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
證畢。
推論
兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。
2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實數λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λa+μb=0。
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