正交矩陣一定是實對稱矩陣嗎？
來源：高三網 2021-11-29 23:25:07
不一定。實對稱矩陣有可能是正交矩陣,但是不是所有的實對稱陣都是正交矩陣。 這里的P是是對稱矩陣,且剛好P的逆等于P的轉置,所以P也是正交矩陣。這只是一種特殊情況。正交矩陣定義:如果AAT=E(E為單位矩陣,AT表示“矩陣A的轉置矩陣”)或ATA=E,則n階實矩陣A稱為正交矩陣 。
1正交矩陣的定理
在矩陣論中，實數正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。
方陣A正交的充要條件是A的行(列)向量組是單位正交向量組;
方陣A正交的充要條件是A的n個行(列)向量是n維向量空間的一組標準正交基;
A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量;
A的列向量組也是正交單位向量組。
正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
2為何正交矩陣一定可以對角化
書上定義合同也不過用的對稱，致于一般矩陣有沒有合同就不一定了，其實之所以對稱矩陣可以正交單位是因為對稱矩陣不同特征值的特征向量正交，所以也就只有同個特征值的不同特征向量才須要正交化，聯系到特征向量的性質只有同一個特征值對應的特征向量線形表示才不會影響對角化。
如果AAT=E(E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”)或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣 。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規矩陣。盡管我們在這里只考慮實數矩陣，但這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對于復數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣(即該正交矩陣中所有元都是實數)可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
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