正交矩陣一定是實(shí)對稱矩陣嗎？
來源：高三網(wǎng) 2021-11-29 23:25:07
不一定。實(shí)對稱矩陣有可能是正交矩陣,但是不是所有的實(shí)對稱陣都是正交矩陣。 這里的P是是對稱矩陣,且剛好P的逆等于P的轉(zhuǎn)置,所以P也是正交矩陣。這只是一種特殊情況。正交矩陣定義:如果AAT=E(E為單位矩陣,AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”)或ATA=E,則n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣 。
1正交矩陣的定理
在矩陣論中，實(shí)數(shù)正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。
方陣A正交的充要條件是A的行(列)向量組是單位正交向量組;
方陣A正交的充要條件是A的n個行(列)向量是n維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基;
A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量;
A的列向量組也是正交單位向量組。
正交方陣是歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣。
2為何正交矩陣一定可以對角化
書上定義合同也不過用的對稱，致于一般矩陣有沒有合同就不一定了，其實(shí)之所以對稱矩陣可以正交單位是因?yàn)閷ΨQ矩陣不同特征值的特征向量正交，所以也就只有同個特征值的不同特征向量才須要正交化，聯(lián)系到特征向量的性質(zhì)只有同一個特征值對應(yīng)的特征向量線形表示才不會影響對角化。
如果AAT=E(E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”)或ATA=E，則n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣 。正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實(shí)數(shù)矩陣，但這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，所以對于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。正交矩陣不一定是實(shí)矩陣。實(shí)正交矩陣(即該正交矩陣中所有元都是實(shí)數(shù))可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。
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