2025年高考數(shù)學必考的導數(shù)知識點總結(jié)

　　我們從一出生到耋耄之年，一直就沒有離開過數(shù)學，或者說我們根本無法離開數(shù)學，這一切有點像水之于魚一樣。以下是小編為大家整理的導數(shù)知識點總結(jié)，希望可以解決您所遇到的相關問題。

　　一、函數(shù)的單調(diào)性

　　在(a，b)內(nèi)可導函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

　　f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù).

　　f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上為減函數(shù).

　　二、函數(shù)的極值

　　1、函數(shù)的極小值：

　　函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)=0，而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.

　　2、函數(shù)的極大值：

　　函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)=0，而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

　　極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

　　三、函數(shù)的最值

　　1、在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.

　　2、若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.

　　四、求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

　　1、確定函數(shù)f(x)的定義域;

　　2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根;

　　3、把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;

　　4、確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性.

　　五、求函數(shù)極值的步驟

　　1、確定函數(shù)的定義域;

　　2、求方程f′(x)=0的根;

　　3、用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格;

　　4、由f′(x)=0根的兩側(cè)導數(shù)的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況.

　　六、求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟

　　1、求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值;

　　2、求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b);

　　3、將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

　　特別提醒：

　　1、f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.

　　2、可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，即f′(x0)=0是可導函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)y=x3在x=0處有y′|x=0=0，但x=0不是極值點.此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點.

　　3、可導函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較.

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