2019年高考一輪復習數學專練：導數性質的應用(2)

　　解：（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x  ∴f(0)=1

　　∴f ?(x)=ex（cosx－sinx）－1 ，f?(0)=0

　　∴y=f(x)在（0，f(0)）處切線過點（0,1），k=0

　　∴切線方程為y=1

　　（Ⅱ） f ?(x)=ex（cosx－sinx）－1，設f ?(x)=g(x)   ∴g?(x)=－2sinx·ex≤0

　　∴g(x)在［0， ］上單調遞減，

　　∴g(x)≤g(0)=0

　　∴f ?（x）≤0

　　∴f(x)在［0， ］上單調遞減，f(x)max=f(0)=1 ∴f(x)min=f( )=－

　　6.（2015o課標全國II卷文）(本小題滿分12分)

　　已知函數 .

　　(I)討論 的單調性；

　　(II)當 有最大值，且最大值大于 時，求 的取值范圍.

　　解：(1) f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.

　　若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

　　若a>0，則當x∈0，1a時，f′(x)>0；當x∈1a，＋∞時，f′(x)<0.

　　所以f(x)在0，1a上單調遞增，在1a，＋∞上單調遞減．

　　(2)由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；

　　當a>0時，f(x)在x＝1a處取得最大值，最大值為f1a＝ln1a＋a1－1a＝－ln a＋a－1.

　　因此f1a>2a－2等價于ln a＋a－1<0.

　　令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調遞增，g(1)＝0.

　　于是，當0<a<1時，g(a)<0；當a>1時，g(a)>0.

　　因此，a的取值范圍是(0，1)．

　　【點評】測訓診斷：本題難度較大，是本套試題的壓軸題之一，主要考查了函數的單調性判斷、導數的應用、不等式的求解、函數的最值，意在考查考生的分類討論思想及函數方程思想的應用，綜合分析問題的能力．

　　7. （2015·山東理）(本小題滿分14分)

　　設函數 ，其中 .

　　(I)討論函數 極值點的個數，并說明理由；

　　(II)若 ， 成立，求 的取值范圍. 解：(1)由題意知函數f(x)的定義域為(－1，＋∞)．

　　f ′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)＝2ax2＋ax－a＋1x＋1.

　　令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．

　　當a＝0時，g(x)＝1，

　　此時f ′(x)>0，函數f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，無極值點．

　　當a>0時，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．

　　a．當0<a≤89時，Δ≤0，g(x)≥0，f ′(x)≥0，函數f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，無極值點．

　　b．當a＞89時，Δ>0，設方程2ax2＋ax－a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)．

　　因為x1＋x2＝－12，所以x1＜－14，x2＞－14.

　　由g(－1)＝1>0，可得－1<x1<－14，

　　所以當x∈(－1，x1)時，g(x)>0，f ′(x)>0，函數f(x)單調遞增；

　　當x∈(x1，x2)時，g(x)<0，f ′(x)<0，函數f(x)單調遞減；

　　當x∈(x2，＋∞)時，g(x)>0，f ′(x)>0，函數f(x)單調遞增．

　　因此函數f(x)有兩個極值點．

　　當a<0時，Δ>0，當g(－1)＝1>0，可得x1<－1.

　　當x∈(－1，x2)時，g(x)>0，f ′(x)>0，函數f(x)單調遞增；

　　當x∈(x2，＋∞)時，g(x)<0，f ′(x)<0，函數f(x)單調遞減．

　　所以函數f(x)有一個極值點．

　　綜上所述，當a<0時，函數f(x)有一個極值點；

　　當0≤a≤89時，函數f(x)無極值點；

　　當a>89時，函數f(x)有兩個極值點．

　　(2)由(1)知，①當0≤a≤89時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

　　因為f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)時，f(x)>0，符合題意．

　　②當89<a≤1時，由g(0)≥0，得x2≤0.

　　所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

　　又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)時，f(x)>0，符合題意．

　　③當a>1時，由g(0)<0，可得x2>0.

　　所以x∈(0，x2)時，函數f(x)單調遞減．

　　因為f(0)＝0，所以x∈(0，x2)時，f(x)<0，不合題意．

　　④當a<0時，設h(x)＝x－ln(x＋1)，

　　因為x∈(0，＋∞)時，h′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1>0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

　　因此當x∈(0，＋∞)時，h(x)>h(0)＝0，即ln(x＋1)<x，

　　可得f(x)<x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，

　　當x>1－1a時，ax2＋(1－a)x<0，

　　此時f(x)<0，不合題意．

　　綜上所述，a的取值范圍是[0，1]．