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          高考數學復習初等函數知識點:冪函數

          來源:網絡資源 2019-05-06 18:34:16

            形如y=xα(α為實數)的函數,即以底數為自變量,冪為因變量,指數為常數的函數稱為冪函數,下面是高考數學復習初等函數知識點:冪函數,希望對考生有幫助。

            定義域和值域:

            當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:   如果a為任意實數,則函數的定義域為大于0的所有實數;   如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小于0,這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等于0 的所有實數。   當x為不同的數值時,冪函數的值域的不同情況如下:   在x大于0時,函數的值域總是大于0的實數。   在x小于0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。   而只有a為正數,0才進入函數的值域

            性質:

            對于a的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

            首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那么我們就可以知道:

            排除了為0與負數兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數;

            排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;

            排除了為負數這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數,a就不能是負數。

            總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:

            如果a為任意實數,則函數的定義域為大于0的所有實數;

            如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小于0,這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等于0 的所有實數。

            在x大于0時,函數的值域總是大于0的實數。

            在x小于0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。

            而只有a為正數,0才進入函數的值域。

            由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

            可以看到:

            (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

            (2)當a大于0時,冪函數為單調遞增的,而a小于0時,冪函數為單調遞減函數。

            (3)當a大于1時,冪函數圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函數圖形上凸。

            (4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

            (5)a大于0,函數過(0,0);a小于0,函數不過(0,0)點。

            (6)顯然冪函數無界。

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