高一數(shù)學(xué)教案：《空間圖形的基本關(guān)系與公理》(2)
來源：網(wǎng)絡(luò)資源 2021-09-10 15:39:52
【典型例題】
考點(diǎn)一 空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。
例1. 下列命題：
空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；
有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必定重合；
空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面；
④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；
⑤兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。
其中正確的命題是 。
解：⑥。
例2. 空間中三條直線可以確定幾個(gè)平面？試畫出示意圖說明。
解：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：
考點(diǎn)二 異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。
例3. 如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對(duì)，分別是____________________？
解：3對(duì)，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
考點(diǎn)三 “有且只有一個(gè)”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。
例4. 求證：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。
已知：直線a∥b。
求證：過a，b有且只有一個(gè)平面。
證明：?存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個(gè)平面。
?唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個(gè)平面 。在直線 上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取一點(diǎn)C，則A、B、C三點(diǎn)不共線。由于這兩個(gè)平面 都過直線a，b，因此由公理1可知： 都過點(diǎn)A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點(diǎn)的平面唯一存在，因此 重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個(gè)平面。
綜上所述：過a，b有且只有一個(gè)平面。
考點(diǎn)四 共點(diǎn)的判斷與證明：此類題型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。
例5. 三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點(diǎn)。
已知：平面 ，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點(diǎn)P。
證明：因?yàn)?，故a，b共面。
I、若a∥b：由于 ，故 ，因直線 ，故a，c無公共點(diǎn)。又a，c都在平面 內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。
II、若 ，則 ，故知
綜上所述：命題成立。
說明：證明三點(diǎn)共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點(diǎn)在第三條直線上；證明交點(diǎn)在第三條直線上常證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上即在第三條直線上。
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