2025年高考復習數學知識點數列的概念與簡單表示法

　　1.數列的定義

　　按一定次序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數都叫做數列的項.

　　(1)從數列定義可以看出，數列的數是按一定次序排列的，如果組成數列的數相同而排列次序不同，那么它們就不是同一數列，例如數列1，2，3，4，5與數列5，4，3，2，1是不同的數列.

　　(2)在數列的定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，在同一數列中可以出現多個相同的數字，如：-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構成數列：-1，1，-1，1，….

　　(4)數列的項與它的項數是不同的，數列的項是指這個數列中的某一個確定的數，是一個函數值，也就是相當于f(n)，而項數是指這個數在數列中的位置序號，它是自變量的值，相當于f(n)中的n.

　　(5)次序對于數列來講是十分重要的，有幾個相同的數，由于它們的排列次序不同，構成的數列就不是一個相同的數列，顯然數列與數集有本質的區別.如：2，3，4，5，6這5個數按不同的次序排列時，就會得到不同的數列，而{2，3，4，5，6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合.

　　2.數列的分類

　　(1)根據數列的項數多少可以對數列進行分類，分為有窮數列和無窮數列.在寫數列時，對于有窮數列，要把末項寫出，例如數列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有窮數列，如果把數列寫成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示無窮數列.

　　(2)按照項與項之間的大小關系或數列的增減性可以分為以下幾類：遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列.

　　3.數列的通項公式

　　數列是按一定次序排列的一列數，其內涵的本質屬性是確定這一列數的規律，這個規律通常是用式子f(n)來表示的，

　　這兩個通項公式形式上雖然不同，但表示同一個數列，正像每個函數關系不都能用解析式表達出來一樣，也不是每個數列都能寫出它的通項公式;有的數列雖然有通項公式，但在形式上，又不一定是唯一的，僅僅知道一個數列前面的有限項，無其他說明，數列是不能確定的，通項公式更非唯一.如：數列1，2，3，4，…，

　　由公式寫出的后續項就不一樣了，因此，通項公式的歸納不僅要看它的前幾項，更要依據數列的構成規律，多觀察分析，真正找到數列的內在規律，由數列前幾項寫出其通項公式，沒有通用的方法可循.

　　再強調對于數列通項公式的理解注意以下幾點：

　　(1)數列的通項公式實際上是一個以正整數集N*或它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函數的表達式.

　　(2)如果知道了數列的通項公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出這個數列的各項;同時，用數列的通項公式也可判斷某數是否是某數列中的一項，如果是的話，是第幾項.

　　(3)如所有的函數關系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數列都有通項公式.

　　如2的不足近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所構成的數列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就沒有通項公式.

　　(4)有的數列的通項公式，形式上不一定是唯一的，正如舉例中的：

　　(5)有些數列，只給出它的前幾項，并沒有給出它的構成規律，那么僅由前面幾項歸納出的數列通項公式并不唯一.

　　4.數列的圖象

　　對于數列4，5，6，7，8，9，10每一項的序號與這一項有下面的對應關系：

　　序號：1 2 3 4 5 6 7

　　項： 4 5 6 7 8 9 10

　　這就是說，上面可以看成是一個序號集合到另一個數的集合的映射.因此，從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數，當自變量從小到大依次取值時，對應的一列函數值.這里的函數是一種特殊的函數，它的自變量只能取正整數.

　　由于數列的項是函數值，序號是自變量，數列的通項公式也就是相應函數和解析式.

　　數列是一種特殊的函數，數列是可以用圖象直觀地表示的.

　　數列用圖象來表示，可以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標，描點畫圖來表示一個數列，在畫圖時，為方便起見，在平面直角坐標系兩條坐標軸上取的單位長度可以不同，從數列的圖象表示可以直觀地看出數列的變化情況，但不精確.

　　把數列與函數比較，數列是特殊的函數，特殊在定義域是正整數集或由以1為首的有限連續正整數組成的集合，其圖象是無限個或有限個孤立的點.

　　5.遞推數列

　　一堆鋼管，共堆放了七層，自上而下各層的鋼管數構成一個數列：4，5，6，7，8，9，10.①

　　數列①還可以用如下方法給出：自上而下第一層的鋼管數是4，以下每一層的鋼管數都比上層的鋼管數多1。

　　【同步練習題】

　　1.已知數列{an}中，an=n2+n，則a3等于(　　)

　　A.3 B.9

　　C.12 D.20

　　答案：C

　　2.下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是(　　)

　　A.1，12，13，14，…

　　B.-1，-2，-3，-4，…

　　C.-1，-12，-14，-18，…

　　D.1，2，3，…，n

　　解析：選C.對于A，an=1n，n∈N*，它是無窮遞減數列;對于B，an=-n，n∈N*，它也是無窮遞減數列;D是有窮數列;對于C，an=-(12)n-1，它是無窮遞增數列.

　　3.下列說法不正確的是(　　)

　　A.根據通項公式可以求出數列的任何一項

　　B.任何數列都有通項公式

　　C.一個數列可能有幾個不同形式的通項公式

　　D.有些數列可能不存在最大項

　　解析：選B.不是所有的數列都有通項公式，如0,1,2,1,0，….

　　4.數列23，45，67，89，…的第10項是(　　)

　　A.1617 B.1819

　　C.2021 D.2223

　　解析：選C.由題意知數列的通項公式是an=2n2n+1，

　　∴a10=2×102×10+1=2021.故選C.

　　5.已知非零數列{an}的遞推公式為an=nn-1•an-1(n>1)，則a4=(　　)

　　A.3a1 B.2a1

　　C.4a1 D.1

　　解析：選C.依次對遞推公式中的n賦值，當n=2時，a2=2a1;當n=3時，a3=32a2=3a1;當n=4時，a4=43a3=4a1.

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