2025年高考數學集合大小定義的基本要求

　　作為集合大小的定義，應該滿足什么樣的基本要求?下文是集合大小定義的基本要求，希望可以幫助到同學們。

　　首先，一個集合的大小只應該取決于這個集合本身。

　　我們知道一個集合可以用多種方法來構造和表示，比如說，

　　A={小于等于2的正整數｝

　　B={1,2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其實都是同一個集合，

　　D={n|n為自然數，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數解｝

　　又怎么樣呢?1996年英國數學家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它里面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構造的途徑，它只應該取決于它本身。

　　一個集合得和自己一樣大，這個沒有什么好說的;

　　其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

　　第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數學上，我們稱滿足這三個條件的關系為“偏序關系”(注：嚴格地說，這個偏序關系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關系定義出的等價類之間，關于偏序關系的嚴格定義的敘述和上面所說的也有區別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個注在講什么也不要緊)。如果一個關于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應原則的定義!

　　舉個例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個偏序關系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關系并不要求任意兩個對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一個中國人，我對中國的科幻創作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣——所以更確切地也許應該說，他們倆之間不能比較。但偏序關系中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。

　　不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關系被稱為“全序關系”。

　　最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關系。有限集合間的大小關系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。

　　“整體大于部分”原則的困難和一一對應原則的優點

　　滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實是康托爾創立集合論以前數學家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數學家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數和正偶數也一樣多，因為所對應的集合都是無限集合。

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然后在上面我們每隔一厘米畫一個點，并在每個點旁邊標上1、2、3……等，這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數集合比較大小的結果應該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數軸的正半軸，上面的點就是代表自然數的那些點，所以這些點的個數應該和自然數的個數相同。而且，按照“整體大于部分”的規定，那些標有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順著上面的思路，這些點的個數也該和自然數一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數不應該取決于在它們的旁邊標記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

　　再舉一個例子。假設我給你一個大口袋，里面有無限多個小口袋，上面按照自然數標了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推。現在我當著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點，應該是少了，少一條。但是如果我當初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因為這時大口袋里的東西和原來沒有任何區別，所以小口袋的數量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標號不應該改變口袋的數量。大家明白我是打了一個比方，大口袋就是一個集合。按照上面的要求，集合的大小只應該取決于集合本身，而不應該取決于集合的表示方法或構造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應該知道里面小口袋的數量，而不用知道我是否做過手腳。

　　這樣的例子可以舉很多。我們發現，如果堅持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時，比如比較自然數和正偶數的個數時，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如說，x'=x+1這樣一個數軸上的坐標平移，會將坐標上的點集{1,2,3……｝變為{2,3,4……｝，一個坐標平移居然可以變動點集中元素的個數!“元素可以一一對應的兩個集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從：怎樣不使用一一對應的方法來比較自然數和數軸上(0,1)區間中點的個數?

　　在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個點的例子，如果我們把不是10的倍數的點去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個點集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實上，無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因為這恰好就是無限集合的特征。

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