2025年高考數(shù)學(xué)抽象函數(shù)求解技巧
來源：網(wǎng)絡(luò)整理 2024-11-13 14:39:12
我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，下文是抽象函數(shù)求解技巧，希望可以幫助到同學(xué)們。
函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時(shí)，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。
例：設(shè)y=蕊(x)是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：
(i)f(-1)=f(1)=0;
(ii)對任意的u,v∈[-1，1]，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。
(Ⅰ)證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈[-1，1]，都有—f(u)-f(v)—≤1。
解題：
(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈[-1，1]，當(dāng)—u-v—≤1時(shí)，有—f(u)-f(v)—≤1
當(dāng)—u-v—>1，u·v<0,不妨設(shè)u<0，則v>0且v-u>1,其中v∈(0，1]，u∈[-1，0)
要想使已知條件起到作用，須在[-1，0)上取一點(diǎn)，使之與u配合以利用已知條件，結(jié)合f(-1)=f(1)=0知，這個(gè)點(diǎn)可選-1。同理，須在(0，1]上取點(diǎn)1，使
之與v配合以利用已知條件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—+—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1
綜上可知，對任意的u,v∈[-1，1]都有—f(u)-f(v)—≤1.
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