如何證明面面平行
來源：網絡整理 2020-09-06 14:21:39
面面平行的判定定理為如果一個平面內有兩條相交直線與都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；如果兩個平面都垂直同一條直線，那么這兩個平面是互相平行的。
1面面平行證明方法
如果一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。
幾何語言：a?α，b?α，且a∩b=A，a∥β，b∥β。則α∥β。
反證法證明：假設這兩個平面不平行，那么它們相交，設交線為l。
∵a∥β
∴a與β無交點
同理，b與β無交點
∵l是兩個平面的交線，l?β
∴a與l無交點，b與l無交點，那么它們平行或異面。
又∵a?α，b?α，l?α，即它們不異面
∴a∥l，b∥l
∴a∥b
這與已知條件a∩b=A矛盾，因此假設不成立，α∥β
向量法證明：設直線a，b的方向向量為a，b，平面β的法向量為p。
∵a∥β，b∥β
∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0
∵a，b是α內兩條相交直線
∴設有任一向量c?α，根據平面向量基本定理可知，存在一對有序數對（x,y）使得c=xa+yb
那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0
即p⊥c
由c的任意性可知p與α內任一向量都垂直，即p也是α的法向量。
∴α∥β
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