如何證明面面平行
來源：網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 14:21:39
面面平行的判定定理為如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；如果兩個(gè)平面都垂直同一條直線，那么這兩個(gè)平面是互相平行的。
1面面平行證明方法
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。
幾何語言：a?α，b?α，且a∩b=A，a∥β，b∥β。則α∥β。
反證法證明：假設(shè)這兩個(gè)平面不平行，那么它們相交，設(shè)交線為l。
∵a∥β
∴a與β無交點(diǎn)
同理，b與β無交點(diǎn)
∵l是兩個(gè)平面的交線，l?β
∴a與l無交點(diǎn)，b與l無交點(diǎn)，那么它們平行或異面。
又∵a?α，b?α，l?α，即它們不異面
∴a∥l，b∥l
∴a∥b
這與已知條件a∩b=A矛盾，因此假設(shè)不成立，α∥β
向量法證明：設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，平面β的法向量為p。
∵a∥β，b∥β
∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0
∵a，b是α內(nèi)兩條相交直線
∴設(shè)有任一向量c?α，根據(jù)平面向量基本定理可知，存在一對(duì)有序數(shù)對(duì)（x,y）使得c=xa+yb
那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0
即p⊥c
由c的任意性可知p與α內(nèi)任一向量都垂直，即p也是α的法向量。
∴α∥β
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